Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
заключение относится, очевидно, не только
444 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ.
VII
к функциям rf, входящим в (93.14), но и к функциям 7]", ВХОДЯЩИМ в
(93.10). Так как в (93.10) линейная функция уже выделена и, по условию,
на бесконечности тр ->• 0, то мы приходим к выводу, что и сама функция -
rf дает расходящуюся волну
Мы можем теперь уточнить условия, которым удовлетворяет добавка -rf к
линейной функции в формуле (93.10). Эта добавка удовлетворяет волновому
уравнению (93.13) и остается со своими первыми производными всюду
ограниченной. На бесконечности величина т)" и ее первые производные
убывают как 1/г. Наконец, вследствие (93.23) можно считать, что на
бесконечности величина rf удовлетворяет условию излучения вида (92.27).
Все эти условия должны выполняться при всех значениях t. В силу теоремы
единственности, доказанной в § 92, величина rf, удовлетворяющая этим
условиям, тождественно равна нулю. Следовательно, функция входящая в
(93.09) и (93.10), приводится к линейной, и самый общий вид
преобразования от одной гармонической координатной системы к другой
напишется:
т. е. сводится к преобразованию Лоренца.
Этот результат доказан нами для случая галилеева пространства времени с
метрикой (93.02), поскольку формулированная в § 92 теорема единственности
доказана для этого случая. Представляется, однако, несомненным, что эта
теорема может быть доказана и для общего случая эйнштейновского
пространства-времени, фундаментальный тензор которого обладает
асимптотикой, установленной в § 87. Приняв это, мы приходим к выводу, что
и в общем случае гармоническая координатная система определяется
однозначно, с точностью до преобразования Лоренца. В самом деле,
рассуждения этого параграфа остаются в силе и в общем случае. В
гармонической координатной системе оператор Даламбера имеет вид
и не содержит первых производных. Вследствие этого волновому уравнению
удовлетворяет любая линейная функция от координат. Поэтому, написав
преобразование координат в виде (93.09), где /* имеет значение (93.10), и
потребовав, чтобы новые координаты были тоже гармоническими [уравнение
(93.12)], мы и в общем случае получим для добавок к)* волновое уравнение
(93.13), где оператор ? имеет уже значение (93.25). Добавки -rf и их
первые производные должны, очевидно, быть ограниченными во всем
пространстве. Остальные же условия, налагаемые на rf, относятся к
бесконечно удален-
rf = расх. волна.
(93.23)
= fl" + VW
(93.24)
(93.25)
§ 931 0 единственности гармонической координатной системы 445
ной области, где метрика мало отличается от галилеевой. Эти условия могут
быть поэтому взяты без изменения из предыдущего случая. В частности,
левая часть (93.18) будет представлять разность между асимптотическими
выражениями в первоначальных и в преобразованных координатах и должна
поэтому соответствовать расходящейся волне. Отсюда заключаем, как и
раньше, о справедливости, соотношений (93.22) и (93.23), а тогда теорема
единственности приводит к выводу, что добавки rf равны нулю.
Таким образом, и в общем случае гармоническая координатная система
определяется однозначно, с точностью до преобразования Лоренца.
Следует отметить, что мы не вводили в явной форме никаких начальных
условий для функций /", дающих преобразование координат. Такая постановка
задачи соответствует постановке задачи об определении потенциалов
тяготения g^. Там имеет смысл вводить начальные условия только для
распределения тяжелых масс, но не для гравитационных волн и не для самих
потенциалов тяготения. Задача определения потенциалов тяготения не есть
задача Коши (т. е. не есть задача на начальные условия), но скорее -
задача нахождения некоторого установившегося состояния, которое
наступает, когда все гравитационные волны, кроме порождаемых самим
движением рассматриваемых масс, уже разошлись (см. выше, конец § 92).
Наши рассуждения показывают, что условия, обеспечивающие единственность
координатной системы, вытекают из самой постановки физической задачи.
Поскольку это не есть задача Коши в отношении определения потенциалов
тяготения, она не будет задачей Коши и в отношении определения
координатной системы. Определенность в постановке задачи о потенциалах
тяготения достигается тем, что мы исключаем, при помощи условий
излучения, внешние "мимолетные" гравитационные волны. Но тем самым
исключаются и соответствующие волновые члены в формулах преобразования
координат, чем в свою очередь достигается единственность координатной
системы.
Формулируем наше заключение еще раз. В случае изолированной системы масс
существует координатная система, а именно гармоническая, которая
определяется путем наложения добавочных условий однозначно, с точностью
до преобразования Лоренца.
Может возникнуть вопрос: не существуют ли, помимо гармонической, и другие
координатные системы, обладающие этим свойством. Нам представляется это
невероятным. Гармонические координаты характеризуются тем, что каждая из
