Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
выражение (92.17) стремилось к нулю:
lim =0. (92.18)
Д-"оо { OR ' С Ot I В v '
0 с"
Для всякой точки гс, отстоящей на конечное расстояние от начала
координат, это требование будет во всяком случае выполняться при
выполнении условий (а), (б) и (в). В самом деле, выражение (92.17) может
быть записано в виде
где
Так как
? -ф(г, V + + + (92.20)
?i = - (*o|j + Л Цг -Ио Й)> (92.21)
<92-22>
|Я - fkv (92.23)
то, в силу неравенств (92.06), входящих в формулировку условия (б), мы
имеем:
l?.l<7^; Ш<тМ^- (92.24)
При фиксированном г0 и при г -> оо эти выражения стремятся к нулю.
Поэтому будет в отдельности
<pt->0; ?2->0 (при г ->оо), (92.25)
и для выполнения условия (92.18) достаточно, чтобы было
<р -"¦ 0 (при г -> оо) (92.26)
§ 92] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 439
или
<92'27)
А это есть условие излучения (б) в форме (92.07).
Мы доказали, что в точке г0 функция ф равна нулю. А так как эта точка
может быть выбрана произвольно, то тем самым доказано, что функция ф
равна нулю везде. Таким образом, формулированная выше теорема
единственности доказана.
Интересно сравнить условие (92.18), непосредственно вытекающее из формулы
Кирхгофа, с нашими условиями (а), (б) и (в). С одной стороны, условие
(92.18) налагает на функцию ф меньшие
требования, а именно оно относится ко временам t - t0 -, где
R - сколь угодно велико, и не требует равномерного стремления выражения
(92.17) к нулю при всех t. С другой стороны, оно содержит в качестве
параметров координаты и время (r0, t0) точки, для которой вычисляется
поле, тогда как наши условия (а), (б) и
(в) их не содержат.
Рассмотрим решение волнового уравнения со свободным членом
(92-28)
выражаемое обычной формулой для запаздывающего потенциала
Ф0\>. *о)= J |7=т?|" (92.29)
где
[p) = P(r, t); t = tQ-i.|r -r0|. (92.30)
Интегрирование в (92.29) ведется по координатам (х, у, z) и
распространяется на всю область, где "плотность" р отлична от нуля
(область, занятую массами). Если эта область вся лежит внутри сферы г и
если время t0 удовлетворяет неравенству с?0 > г -\-а, то для вычисления
интеграла (92.29) достаточно знать р для положительных вначений аргумента
t.
На больших расстояниях от масс функция ф (которая вне масс удовлетворяет
однородному волновому уравнению) имеет асимптотический вид
Ф(Г. 0 = 7l*(f - 7, п), (92.31)
где п - единичный вектор в направлении радиуса-вектора г. Функция р,
выражается через р следующим образом:
f. n)=Jp(r'. t-LJr<±nyV'. (92.32)
440 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VII
Выписанные здесь формулы показывают, что запаздывающий потенциал
удовлетворяет формулированным выше условиям (а), (б) и (в). В силу
доказанной здесь теоремы он является единственным решением неоднородного
волнового уравнения (92.28), удовлетворяющим этим условиям. Таким
образом, эта теорема дает математическое обоснование применению
запаздывающего потенциала, который обычно вводится из физических
соображений.
Формулированная здесь теорема единственности доказана нами для волнового
уравнения с постоянными коэффициентами. Следует, однако, ожидать, что она
остается справедливой и для уравнений с переменными коэффициентами gpv,
обладающими асимптотикой,
установленной в § 87. Доказательство ее для общего случая
пред-
ставляет значительные трудности и является не решенной математической
задачей. Гораздо легче доказать ее для случая, когда можно ограничиться
"стационарным" приближением для g^v и писать волновое уравнение в виде
Щ_Дф = 0, (92.33)
где Дф- евклидов оператор Лапласа, а "показатель преломления" п имеет
значение
я= 1+^. (92.34)
Здесь U есть ньютонов потенциал, который можно в данном вопросе считать
независящим от времени. Доказательство можно было бы построить либо на
формуле С. Л. Соболева *), представляющей обобщение формулы Кирхгофа на
уравнения вида (92.33), либо на разложении функции ф по переменной t в
интеграл Фурье и на применении известных условий излучения Зоммерфельда,
которые в этом случае будут следствиями нашего условия (92.27).
В заключение заметим, что принятая в этом параграфе постановка задачи
отличается от обычной (от задачи Коши) тем, что мы не вводим в явной
форме начальные условия, а, напротив, изучаем такие решения волнового
уравнения, которые в данной области пространства и в интересующие нас
моменты времени от начальных условий не зависят. Такая постановка
диктуется характером данной физической задачи, Единственность решения и
независимость его от начальных условий достигается в ней ограничением
пространственно-временной области: начальное возмущение, какое могло
оказаться в этой области, давно уже разошлось, новые же возмущения не
могут, в силу условий излуче-
*) Формула Соболева отличается от формулы Кирхгофа (92.09) в основ' ном
тем, что содержит, кроме поверхностного, еще и объемный интеграл
Рассуждая аналогично вышеизложенному, мы можем считать, что в сил}
условий для ф интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю Это
