Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 144

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 167 >> Следующая

получим тогда выражение
сп> (з°* - xi Щ) -СПк (з0< - XJ -щ) =
~ ^ М ik -(- (щРк - tikPi) + ¦" (oj.j - 3пкп-) (Mji -|- Dji) -
- % (h - 3"i'9 № + %)• (91.22)
Правая часть здесь расположена по шаровым функциям и содержит шаровые
функции нулевого, первого и второго порядков *). При
*) При учете членов порядка q-'c1 по отношению к главным подинте-гральная
функция в (91.21) содержала бы шаровые функции до четвертого порядка.
§ 92] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 435
интегрировании остается первый член, и мы получаем
М** = Ма, (91.23)
как и следовало ожидать.
Нам остается вычислить интеграл (91.05). Используя формулу (91.13), мы
можем написать его в виде
мх* = Ж7 J (ся< (s°°" ^
-jn^j+cb^idxf. (91.24)
_ dafi daJ'k
Поскольку выражается из условия гармоничности через ,
а эти величины вычисляются из (91.08) вплоть до членов, убывающих как
l/rs, мы могли бы вычислить в интеграле (91.24) все члены. Но в целях
упрощения выкладок, не представляющих особого интереса, мы ограничимся и
здесь главными членами. Мы можем тогда написать:
= + +^)-да(8"-3"Л)**25)
Рассуждая как и раньше, получаем отсюда
MX1 = МХ{, (91.26)
а так как уже было проверено, что Р* = Р1, то будет
M*° = MXi - Pit, (91.27)
как и должно быть.
Проведенные здесь вычисления можно рассматривать как проверку
правильности приближенного решения уравнений Эйнщтейна, даваемого
формулами (91.06) - (91.08). Вместе с тем результаты этих вычислений
являются наглядным выражением связи между законами сохранения,
написанными в общей форме, и интегралами механики.
§ 92. Теорема единственности для волнового уравнения
В следующем параграфе мы займемся вопросом о том, насколько однозначно
определяется, в случае изолированной системы тел, гармоническая
координатная система. При исследовании этого вопроса нам понадобится
теорема, устанавливающая условия единственности решения волнового
уравнения
? + = 0.
(92.01)
436 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ. ВОПРОСЫ t(tm).
VII
Мы докажем здесь эту теорему для волнового уравнения с постоянными
коэффициентами, в котором
следующие условия.
(а) Условие ограниченности: при всех х, у, z, t имеет место неравенство
так что функция Ф равномерно ограничена.
(б) Условие убывания на бесконечности: при неограниченно воз-
так что функция Ф и ее первые производные убывают на бесконечности
обратно пропорционально г (или еще быстрее). Здесь величины М0, М, Mt -
положительные постоянные.
(в) Условие излучения: при г->оо и всех t удовлетворяется предельное
равенство
которое выражает тот факт, что на больших расстояниях от начала координат
имеется только расходящаяся волна, тогда как волны, идущие извне,
отсутствуют.
Мы можем теперь формулировать следующую теорему единственности.
Решение однородного волнового уравнения = 0, удовлетворяющее условиям
(а), (б) и (в), тождественно равно нулю.
При доказательстве теоремы мы будем исходить из формулы Кирхгофа для
решения волнового уравнения *). Формула Кирхгофа выражает значение
функции ф в некоторой точке пространства г0
*) О формуле Кирхгофа и ее обобщении - формуле С. Л. Соболева - см. В. И.
Смирнов, Курс высшей математики, т. II, § 202 и т. IV, § 148.
(92.02)
Наложим на функцию
ф = <Ь(х, у, z, t)
(92.03)
Ж<Л*о.
(92.04)
растающем расстоянии г - Ух?у1z* от начала координат и при всех t функция
удовлетворяет неравенству
(92т
(92.05)
а ее первые производные удовлетворяют неравенствам
(92.06)
(92.07)
§ 92]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
437
в момент времени t0 через значения i и ее производных на поверхности S,
окружающей эту точку, причем значения в точке г поверхности берутся не в
момент t0, а в более ранний момент
t = tn - hr -
Формула Кирхгофа имеет вид:
"Го." = ^ ИШ?]-М:
1 <3/? Г 1 д<У
R дч с dt
dS.
(92.08)
(92.09)
(92.10)
дч '
Здесь через R обозначено расстояние
Я = ] Г - г0
есть производная по внешней нормали к поверхности S:
^7 = If cos (пх) + |у cos ^ + Ц cos № ¦ (92-1
Квадратные скобки [й] означают, что аргумент t должен быть заменен его
значением (92.08), причем в производных и эта
замена должна быть произведена после выполнения дифференцирования.
Возьмем в качестве поверхности S поверхность шара радиуса R с центром в
точке г0. Мы можем тогда положить
dS = R?dm, где dm - элемент телесного угла. Далее,
cos(пх):
и так как
х - х0
_У -Уо.
; cos (пу) =
cos (jiz)
¦*0
то мы можем писать
dR _ , дч ~ '
Формула Кирхгофа принимает вид
,, ^ 1 Г Г Iй [Д4 I 1 л
v(r0. h) - 4r. J J I r)R + с dt ]
(92.12)
(92.13)
(92.14)
(92.15)
(92.16)
438 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VII
Стоящее под знаком интеграла выражение в фигурных скобках здесь равно
, iWi-лГг Л-4-
с dt ~ 14 '
+ (Х - Х<дд? + (У- Уо)^-Ь-(2 - Zo) Й+Т (92Л?)
где аргумент t имеет значение (92.08).
Согласно формуле (92.16), значение функции ф в точке r0, t0 есть среднее
по телесному углу от выражения (92.17). Для того чтобы в точке r0, t0
функция ф была равна нулю, очевидно, достаточно, чтобы при возрастании R
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed