Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 141

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 167 >> Следующая

1 dcY^wZ) 1 д?'
v.o; = ---? p - r;o; = 0. (89.43)
§ 89] ФОРМУЛИРОВКА законов сохранения 425
Ho для всякого симметричного тензора
= -Y-Щ0" = - Г!№ (89.41)
Поэтому предыдущую формулу можно написать в виде 1 д (V" - gwa")
у=? = -г!^ (8942>
С другой стороны, расходимость консервативного тензора (которая
тождественно равна нулю) имеет вид
1 a (Y-gGl)
Y-g дх*
Второй член здесь совпадает с правой частью (89.42). Исключая
его из (89.42) и (89.43), получаем
(V- g&t + V - gw?) = 0. (89.44)
Выражая Gp через Гр из уравнений тяготения и полагая
= (89-45)
мы можем написать предыдущее уравнение в виде
(89.46)
Это уравнение представляет дифференциальную форму закона сохранения в том
виде, в каком он чаще всего приводится в литературе. Величина
о;=^-^(г;+ф (89.47)
аналогична нашему U^, но не симметрична в своих значках. Поэтому из
соотношения
* т
dUl
-д? = ° (89.48)
нельзя вывести формул, соответствующих законам сохранения момента
количества движения и движения центра тяжести. Что касается законов
сохранения энергии и количества движения, то обе формулировки их
[основанная на (89.11) и основанная на (89.48)] дают эквивалентный
результат. Докажем это, опуская все выкладки, которые достаточно сложны.
Из определения (89.39) величин w" следует
426 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |гл-
VII
Пользуясь формулами Добавления Б, получаем отсюда
ГГ3)] (89.50)
и, после умножения на -с,
Эта формула аналогична (89.10). Отсюда получаем
Г U\ {dxf = \ -р^=, nj A (g-tf g"* - rVT) dS. (89.52)
J 16nf J у-g дХч
Так как интегрирование ведется по удаленной поверхности, то здесь
gf,
можно вынести предельное значение - из-под знака интеграла.
V-g
Сравнивая получаемые выражения с (89.25) и (89.27), мы можем написать:
где Рп=М и Р* имеют значение (89.27). Последнюю формулу мы можем также
написать в виде
Эти соотношения подтверждают, что несмотря на различие в дифференциальных
формах законов сохранения, интегральные их формы друг другу эквивалентны.
Кроме того, наличие величин (g^co в соотношениях (89.54) наглядно
показывает, что полные энергия и количество движения системы представляют
четырехмерный вектор в галилеевом пространстве-времени, в которое
погружена система.
§ 90. Излучение гравитационных волн и его роль в балансе энергии
Законы сохранения энергии и других величин были написаны нами в § 89 в
форме уравнений, выражающих баланс той или иной величины, т. е. тот факт,
что изменение полного количества данной величины, заключенного внутри
некоторого объема, происходит только за счет потока этой величины сквозь
поверхность, ограничивающую этот объем.
Мы рассмотрим теперь вопрос о том, в какой мере можно пренебречь потоком
сквозь поверхность и считать данную величину постоянной, другими словами,
в какой мере можно говорить о зако-
(89.53)
*
*
(89.54)
§ 90] ИЗЛУЧГНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ волн 427
нах сохранения в узком смысле. При этом мы ограничимся законами
сохранения энергии и количества движения.
Используя обозначения (89.18) и (89.19) для массы и количества движения и
считая поверхность интегрирования сферической, мы можем, согласно
(89.13)-(89.15), написать:
* л
= - с* nkU0krada>,, (90.01)
~ = - с2 J nkUikr2 do), (90.02)
где интегрирование ведется по телесному углу. Мы можем считать
поверхность интегрирования настолько удаленной, что она вся проходит в
волновой зоне. На основании результатов § 87 нетрудно
заключить, что там величины L.|i\ определяемые формулами (89.06) или
(89.07), приводятся к . Беря для значения (87.42), а для Т^ - значения
(87.45), соответствующие электромагнитному излу-
чению, мы можем положить
U^ = <3ftk\ (90.03)
где о есть плотность энергии (электромагнитной и гравитационной),
введенная в § 87. Пользуясь формулой (87.53), выражающей зави-
симость плотности энергии о от расстояния г, мы можем также написать
k"k\ (90.04)
Беря значения kv из (87.21), будем иметь
^к = ^Г-п* ^к = СЛ^-п,пк (90.05)
и, следовательно,
чиак = ; пки1к = щ. (90.06)
Подставляя эти значения в (90.01) и (90.02), получаем
* (*
Ш = - \ I о0(т, n)<fo, (90.07)
dt
dPi
dt
* Г
- = -J "г30(т, n)o?<o. (90.08)
Но плотность о0 есть четная функция от щ как для электромагнитного, так и
для гравитационного доля. Поэтому формула (90.08)
428 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
дает
lip1
^-=0. (90.09)
Что касается формулы (90.07), то в ней интеграл не будет равен нулю, так
как а0 есть величина положительная и не стремится к нулю с возрастанием
г. Поэтому утечка массы всегда будет иметь место.
Рассмотрим сперва ту часть утечки массы, которая происходит вследствие
излучения гравитационных волн. Мы должны тогда заменить о0 выражением а0д
из (87.54), в которое должны подставить
значения из (87.60) и (87.62). Положим для краткости
A№ = -^D№(x). (90.10)
Формула (87.54) дает тогда
3о" = А2- 2АЛ + А*А* ~j(A~ ajj? | > (90-1 !>
где введены сокращенные обозначения
Аг = Aik4> А = Ai>li = АгФгП.к. (90.12)
Можно показать, что величина а0д зависит не от шести величин Aik, а
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed