Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Та область, где решение волнового уравнения ф с большой точностью
выражается в форме (86.10), и носит название волновой зоны.
В том случае, когда размеры системы малы по сравнению с длиной излучаемых
ею волн, разложение (86.12) быстро сходится, причем главным членом будет
первый, отличный от нуля. Если таковым является р,0, то функция 4 будет
обладать сферической симметрией.
'де
П; = -
410 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ.
VII
§ 87. Потенциалы тяготения в волновой зоне
Обратимся теперь к уравнениям Эйнштейна, выписанным в § 68. Введем,
согласно (68.13), обозначение
Nri=(^Ж (87-01>
где L есть функция Лагранжа:
i = <87 02)
а другие величины имеют следующие значения:
_1_
2*
<87'09>
ia = v'\ (87.04)
у, = d-Xgf~g; г = (87-05)
Тогда уравнения Эйнштейна в гармонических координатах напишутся
(-*)(".. -4 p,R) = ^ №• = ^ ТУ. (87.06)
Мы должны исследовать асимптотический вид решений этих уравнений на
больших расстояниях. Для этого рассмотрим сперва волновое уравнение
V="o*-r>*|Sr>-o <87-07>
и заменим в нем коэффициенты д(r)Р их "статическими" значениями, причем
будем для простоты считать, что начало координат лежит в центре тяжести
системы масс. Мы можем здесь воспользоваться выражениями (85.41), (85.46)
и (85.48), в которых, однако, мы отбросим все члены, убывающие быстрее,
чем у, а из членов порядка у
сохраним (пока) только статический. Вводя гравитационный радиус массы
"=7? (87.03)
и переходя к сферическим координатам, связанным с гармоническими обычными
формулами (57.03), мы напишем волновое уравнение
(87.07) в виде
?"* = ?(' +т)"-(да+7$ + 34'*)=0- <87л9>
§ 87] потенциалы тяготения в волновой зоне 411
Здесь Д'б есть обычный оператор Лапласа на шаре [формула (57.06)]. Нас
интересуют решения типа расходящихся волн. Для них величина
У';:6
будет на бесконечности убывать быстрее остальных членов уравнения, и мы
можем ее отбросить, после чего уравнение (86.22) напишется
Независимыми переменными будут здесь только г и t, а углы 0, <р будут
входить только как параметры.
Производя подстановку
r6=f (87.11)
и вводя вместо г переменную
г* - r-\-2z (\g г - lg г0), (87.12)
где г0-некоторая константа, мы получим, с точностью до малых величин,
1 d*f д*/ " . "
с^Ш-дР^-0- <87ЛЗ)
Решением типа расходящейся волны будет
/ = /(х, п), (87.14)
где п есть попрежнему единичный вектор (86.09), а т имеет теперь значение
т = / - !/-* (87.15)
ИЛИ
, = (_i(f + 2,lg(T)). (87.,в)
Таким образом, решение уравнения (87.09) типа расходящейся волны имеет
асимптотический вид
6 = 1 /(х, п), (87.17)
причем величина х предполагается здесь конечной, тогда как г
неограниченно возрастает.
При этих условиях асимптотические значения производных от 6 по
координатам и времени вычисляются так, как если бы функция Ь зависела от
них только через посредство х. Полагая
*. = ?, (87.18)
будем иметь в рассматриваемом приближении
di>
412 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
Пренебрегая членами порядка ~ по сравнению с единицей, мы
можем считать величины Ав равными
*0 • • с
В соответствии с этим можем положить
A0=l; ki = -%. (87.20]
= А' = + ^, (87.21)
откуда
kak" = 0. (87.22)
Величины krJ. будут пропорциональны составляющим нулевого четырехмерного
вектора (в галилеевом пространстве, соответствующем предельным значениям
giJ-v).
Добавим теперь в коэффициентах волнового уравнения (87.09)
4V "|П
к статическим значениям g волновую часть о и положим
(87.23)
дО г - frOi
= - cba bik.
Относительно величин Ь^1 мы будем предполагать, что в волновой области
они будут либо иметь вид (87.17), либо, во всяком случае, удовлетворять
условию (87.19). Поэтому мы можем вычислять производные от Ь^' по формуле
db, lav /0-7 Cl
Жл=КЪ(87.24)
а так как производные от статических членов в grv будут убывать как 1
/г"2 и могут быть отброшены, то будет и
= (87.25)
Условия гармоничности для напишутся
kjf'' - О (87.26)
и могут быть проинтегрированы по т. Так как статическая часть grv нами
уже выделена, то постоянные интегрирования могут быгь положены равными
нулю, и мы получим
^' = 0. (87.27)
Отсюда смешанные и временная компонента величин ti''1 выражаются через
пространственные компоненты по формулам
Ьа = U± bik; b00 = bik. (87.28)
С С2
ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ В ВОЛНОВОЙ ЗОНЕ
413
Уточненный вид умноженного на -g оператора Даламбера, получаемый в
результате подстановки коэффициентов дт-'1 из (87.23) в формулу (87.07),
напишется:
+ (87.29)
Но если ф - функция типа расходящейся волны, которая зависит от координат
и времени главным образом через посредство т и удовлетворяет соотношению
(87.19), то будет
(87-з°)
вследствие (87.27). Поэтому дополнительный член в операторе Даламбера
(87.29) будет равен нулю в отдельности, и мы можем вест и исследование
решений типа расходящейся волны так, как если бы в коэффициентах
оператора Даламбера в волновом уравнении (87.07) и в уравнениях Эйнштейна
(87.06) имелась только статическая часть. Тем самым мы как бы
