Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
тензоре с самого начала не будем писать членов В^ и В, то
20*
308
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
равенство (68.07) будет выполняться лишь поскольку выполняется условие Tv
= 0.
Переходя к приближенной форме уравнений Эйнштейна, рассмотрим сперва
члены с вторыми производными. Используя выражения
(67.04), мы будем иметь;
,a-i г _ с л " | Id2?, 4 / s д2 С"2?
с Л2 ' с8 \ tk dXf dxk ' 4 дх( dt ' dtA )'
(68.08)
Здесь главные члены дают умноженный на с евклидов оператор Да-ламбера,
тогда как члены с переменными коэффициентами представляют поправки,
которыми, в рассматриваемом приближении, можно пренебречь. Рассмотрим
подробнее порядок величины этих поправок. В выражение (68.02) для тензора
Эйнштейна входит величина (68.08), деленная на 2g, причем ср есть
соответствующая компонента $1V. Производные от (r) будут третьего порядка,
а так как приближенно g = - с'2, то деленные на 2g поправочные члены в
(68.08) будут восьмого порядка относительно 1/с. Пренебрегая величинами
такого порядка, мы должны вычислять и все другие входящие в (68.02)
величины с соответствующей точностью.
Чтобы освободиться от величины g в знаменателе, мы будем
вычислять не самый тензор Эйнштейна, а этот тензор, умноженный
на близкий к единице множитель (-g'/с2). Члены со вторыми производными
будут тогда, с требуемой точностью,
L ^ J!CL = _L Д(Г___(68 09)
2cz у дхадх? 2с J 2cs dt* ' 1.°°-иУ)
Чтобы получить члены с первыми производными, мы найдем сперва при помощи
формул (67.15)-(67.18) величины:
= (68. ю)
(- i) п* ,!пЬ = /г § w,- i [Щ-¦ <68Л ¦>
(-
4)п
с А .1
г, a3r1 k
ilaS =
i/'i -I__1 dS I 2 dUAtdU .___________1 dS 2 dUk\
s4 \ c2 ) \ dxt i c2 i)Xi C2 di J \dxk '2_ c2 dxk ' c3 dt J
ce \ dxs dx{ j \ dxs dxk j 42
В формулах (68.10) и (68.11) можно было бы не писать множителей (-g'/с2),
так как в данном приближении их можно заменить на единицу.
§ 68]
ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ
309
Используя, далее, выражения (67.22) для _у* и вводя обозначение
и U* имеет значение (67.11). Поскольку величина U входит здесь в члены
шестого порядка, мы можем заменить ее на U*, как это сделано в (67.30).
Тогда все величины Л/^ будут содержать первые производные только от
четырех величин U*, U8, причем все N^ будут однородными квадратичными
функциями от первых производных с постоянными коэффициентами. Это
представляет весьма большое упрощение точных формул (68.13).
При помощи найденных выражений мы можем сразу написать приближенные
уравнения Эйнштейна Мы будем иметь:
где величины А/1" имеют значения (68.14)-(68.16).
Чтобы применять формулу (68.18) к определению величин <$*, нужно прежде
всего иметь значения входящих в N^ величин U*, Ui с требуемою точностью.
Что касается величин Uit то они входят в выражения (68.14)-
(68.16) только в члены шестого порядка; поэтому достаточно знать их с
той точностью, с какой они определены в § 55. Соответствующие формулы
приведены также в § 65. [Эти формулы получаются и из уравнения (68.18),
написанного для р. = 0, \ = /, если пренебречь там величиной N0i и второй
производной по времени, заменить g на - с2, взять в T0i главный член и
выразить йС1 через Uf\. Мы
мы получим
где
310 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
имеем, согласно (65.05):
Д(74 = - 4itYpTij. (68.19)
Величина же (7* входит в члены не шестого, а четвертого порядка, и ее
нужно знать с большей точностью. По определению
(67.11) мы имеем:
Ut = U + -L(S + SKk-2U*). (68.20)
Согласно (67.04), производные от U -j- S равны производным от
С^
-j-g00. Уравнение (68.18), написанное для р = v = 0, дает поэтому
(Л - i ж) (и + w-s) = ~тN°°+^т°°- <68-21}
1 с
Далее, производные от - те же, как от -^-0**. Полагая
в (68.18) р = \=& и суммируя по k, получим
(Л ~ ir ж) ^= - т ыкк ~ Ат^Ткк с68'22)
[во втором члене справа мы заменили множитель (-gjc2) единицей]. Наконец,
мы можем написать:
(Л~ i ж)(^) = - ^ + 16^7'"°. (68.23)
Мы пренебрегли здесь в операторе Даламбера второй производной по времени
и воспользовались тождеством
Д ((7а) = 2 (grad U)2-j-2U Д(7, (68.24)
а также равенствами
Д(7 = - 4itfp =-4тс -(С2Г00. (68.25)
Искомое уравнение для (7* получается сложением трех уравнений
(68.21)-(68.23). Найдем его правую часть. Согласно (68.1 1), мы имеем
- ^N^ = ~{gxiAUf. (68.26) Вычисляя с той же точностью, получаем из
(68.16) и (68.17)
- ~Ыкь = ±(%Ыи)2 (68.27)
и, следовательно,
Y /V00 + ~ № + ~ (grad Uf = 0. (68.28)
§ 68] ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ 311
Используя это соотношение, а также формулу
4 16 тс-ft/ = -4тс^с2, (68.29)
получаем для U* простое уравнение
Ш* - ~ ^ = - 4*Т (с2 Г00 + Ткк). (68.30)
Вне масс величина U* удовлетворяет уравнению Даламбера
с евклидовыми коэффициентами. Этого можно было ожидать на основании вида
формулы (68.17) для функции Лагранжа.
В конце § 67 мы вывели для инварианта кривизны R приближенное выражение
через функцию
f=\f ¦=jf, (68.31)
пропорциональную корню четвертой степени из абсолютного значения
