Оценка точности измерений в курсе физики средней школы - Фетисов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Х=х±Е.
- Определяют относительную погрешность:
^-¦100%.
Пример. Определите доверительный интервал с соответствующей доверительной
вероятностью для дальности полета снаряда из баллистического пистолета
под углом стрельбы в 45° по сле-
92
дующим результатам опыта: 101,5; 105,0; 95,0; 98,5; 100,0 см. Проводя
вычисления по приведенным выше правилам, получаем:
2 xi
1. X-
2.
-, х= 100,0 см.
Дл:, -х - л' Лл7
-1,5 2,25
-5,0 25,00
+ 5,0 25,00
+ 1,5 2,25
0,0 0,0
3. Ах = ^ =-yU=2,6.
2 | Axi | = 13, 2 (ДXif = 54,5.
5.
д/ ^ ^ , о = 3,7.
V п - ] '
4. а=1,253Дх = 3,3, о
f 5. s=-^=^=l,5, s=-tt, s=I,7.
Vs Vra
6. Берем 4 = 3,75 при Ps = 98% и n = 5.
7. E=sts = 1,5-3,75 = 5,6"6, E = sts = 1,7-3,75"6,
X= 100,0 cm±6 cm, X= 100,0 cm±6 cm. Следовательно, на 98% можно ручаться,
что рассеивание снарядов будет не больше ±6 см от дальности полета в
100,0 см. [ (В пп. 4-7 первое число получено из нормального закона
распре-
t1Деления, а второе - из распределения Стьюдента, которое переходит в
закон Гаусса при п-*¦ оо.)
§ 39. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Если измеряемая величина является функцией нескольких переменных,
погрешности которых сравнительно малы, то погрешность косвенного
измерения может быть определена на основании формул таблицы.
№ п/м Функциональная связь между z и х. у Соотношение между средними
квадратическими погрешностями
1 г = х+у -1 Z=x-y] О? = Ox -f- О у
2 г=ху Л у > (|)Чт)+(?)'
3 z=xn 0г _ Ох Z X
93
(Систематические погрешности измерений величин лиг исключены.)
Из приведенных в ней формул видно, что вследствие возведения в квадрат
одни погрешности могут оказаться пренебрежимо малыми по сравнению с
другими.
Например:
z=x+y, ах=2, оу= 1,
V5l=V^+T^=2,24.
Несмотря на то что погрешность ау всего лишь в 2 раза меньше дх, ею можно
пренебречь, поскольку если мы не примем во внимание меньшую погрешность,
то получим погрешность косвенного измерения ог=2, что лишь на 12%
отличается от полной погрешности.
Вследствие этого при сложении и вычитании измеряемых величин (см. формулу
1 в табл.) можно отбрасывать средние квадратические погрешности, не
превышающие 1/3 рт максимальной.
При умножении и делении Измеряемых величин (см. формулу 2 в табл.)
складываются квадраты не абсолютных, а относительных погрешностей, а
поэтому в подобных случаях можно пренебречь всеми относительными средними
квадратическими погрешностями, не превышающими 1/3 от максимальной.
Примечание. Аналогично тому, как делалось в § 35 при
выводе формулы можно и в общем случае применить гео-
л/3
метрическое сложение абсолютных и относительных погрешностей (рис. 42):
Az2 - Ахг + Ау2 и
При этом несколько уменьшается диапазон границ значений погрешностей.
§ 40. ОПЫТ ПО РАССЕИВАНИЮ ПОПАДАНИЙ СНАРЯДА ПРИ СТРЕЛЬБЕ ИЗ
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПИСТОЛЕТА
Для экспериментального изучения распределения случайных величин проведем
следующий опыт.
На конце стола устанавливают пистолет под углом стрельбы в 45°. На стол
кладут лист писчей бумаги на расстоянии, соответствующем попаданию
снаряда в середину листа. (Делают предварительную пристрелку.) На лист
кладут копировальную бумагу. Производят 25, 50 или 100 выстрелов, затем
снимают копировальную бума-Рис. 42 гу и через наибольшее
скопление сле-
94
дов попаданий снаряда для упрощения проводят центральную поперечную
линию, а через 1 см в обе стороны, от этой линии проводят ряд
параллельных ей линий. Таким образом поле стрельбы разбивают на ряд
параллельных полосок. Пронумеровывают полоски.
Измеряют расстояние от средней линии до снаряда, находящегося в
пистолете, с точностью до 1 см (в опыте - 95 см).
Считают число попаданий внутри каждой полоски и результаты записывают в
таблицу.
Отклонение от средней
№ полоски Число попаданий и полоску линии до середины Сумма
отклонений
ПОЛОСКИ
1 1 2,5 2,5
2 3 1,5 4,5
3 9 0,5 4,5
4 7 0,5 3,5
5 4 1,5 6
6 1 2,5 2,5
25 23,5
Строят гистограмму (рис. 43). Вычисляют:
5
°=т
2 \х-х\
23,5 см 24+
: 1,2 СМ.
На интервал с границами е=-±о приходится 17 попаданий; вероятность
попаданий в него рав-
на:
17
25
"68%.
Если доверительный интервал увеличить до е = it За, то вероятность
попаданий приблизительно равна 100% (рис. 44).
to
Л<§
'О
•О
О С; 3 О 3-
CN
60
Средняя
линия
| ?
. On
Рис. 44
Примечание. Рассеивание в боковые стороны вызывается колебанием пистолета
в горизонтальной плоскости. Полезно сравнить полученную гистограмму с
нормальным законом распределения.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
б - истинная абсолютная погрешность измерения (одиночного) ;
х и Xi - значения величины, полученные при одиночных измерениях;
X - истинное значение величины;
х - среднее арифметическое одиночных значений;
Ах и Axi - абсолютная погрешность измерения;
D (х) = о2- дисперсия;
о - средняя квадратическая погрешность;
~ - знак, стоящий сверху буквы, означает, что соответствующий результат
получен в результате опыта, а не из теории;
к - истинная абсолютная погрешность среднего значения результата
