Оценка точности измерений в курсе физики средней школы - Фетисов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
7 0,908 0,953 0,976 0,987
8 0,914 0,959 0,980 0,990
9 0,919 0,963 0,983 0,992
10 0,923 0,966 0,985 0,993
11 0,927 0,969 0,987 0,994
12 0,929 0,970 0,988 0,995
13 0,931 0,972 0,989 0,996
14 0,933 0,974 0,990 0,996
15 0,935 0,974 0,990 0,996
16 0,936 0,975 0,991 0,997
17 0,937 0,976 0,992 0,997
18 0,938 0,977 0,992 0,997
19 0,939 0,978 0,992 0,997
20 0,940 0,978 0,993 0,997
оо 0,955 0,988 0,997 0,9995
Найдем доверительный интервал погрешности среднего при доверительной
вероятности 0,99. Среднее значение массы равно:
* = 72,350 г.
Определяем отклонения от среднего (в мг) и сумму их квадратов:
Xi - X {xi-xf
+11 121
+ 7 49
+2 4
- 4 16
-6 36
-10 100
Вычисляем:
а , о = 8,06 мг,
v п- 1 * 5
~ о 8,06 ~ о on
s = --= - ¦ , s = 3,29 мг.
т/я л/6
По первой таблице находим для д=6 и Ps-0,99
f, = 4,03,
откуда границы доверительного интервала погрешности среднего
±(3,29*4,03)" 13 мг. Следовательно, масса изделия равна 72,350±0,013 г
(степень достоверности - 99%).
Пример 2. При 10 измерениях длины металлического стержня получены
следующие результаты: 358,51; 358,49; 358,48; 358,46; I 358,45; 358,42;
358,59; 358,55; 358,53; 358,52 мм.
Следует определить вероятность того, что погрешность среднего значения не
выйдет за границы ±0,05 мм.
Находим х = 358,50 мм, тогда 2 (х - х)2 - 0,023;
откуда
0,05
п(п- 1) v 10-9
0,016
По второй таблице находим для n=10, ts=3, Ps - 0,985.
§ 35. СВЯЗЬ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ СО СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ
И ПРИНЦИП КРЫЛОВА - БРАДИСА
Установим соотношение между абсолютной погрешностью Да и средней
квадратической погрешностью о на примере равномерного распределения
погрешностей.
Пусть в результате измерения или вычисления получено приближенное число
а±Да, причем известно, что любые значения абсолютной погрешности между -
Да и Да одинаково вероятны. Так как все значения погрешности перечислить
невозможно, выберем
87
произвольное натуральное число п и рассмотрим следующие значения
абсолютной погрешности:
О ±- ±("-|)--, ± Да.
п ' п ' п
Для характеристики точности приближенного числа а рассмотрим среднее
арифметическое квадратов чисел этого ряда.
Этим самым мы придаем больший "вес" большим погрешностям. Так как в ряду
имеется 2п+1 чисел, то среднее арифметическое квадратов равно:
°2 + 2(~)2+ -+ 2 (Ад)2
2(Ад)2(12 + 22 + ...+п2
2п + 1 п2 (2/1 + 1)
Чтобы получить ту же размерность, какую имеет, величина а, извлекаем
положительный квадратный корень:
Ад V2 ^ I 12 + 22 + .../12 2п+1
Однако абсолютная погрешность числа а может принимать любые значения
между -Да и Да. В качестве характеристики точности измерения величины а
принимаем предел полученного выражения:
о= lim 2 + 22+... + д2
п V 2п+1
Полученное число о называют средней квадратической погрешностью величины
а.
Для вычисления о применим формулу суммы квадратов последовательных чисел
натурального ряда:
/i(n+l)(2n+l)
Тогда
Jim -л/1 4-_1-=Д?
лА+Т-
-\/б п->- оо V И ^3
Итак,-о=-г- (В. П. Демкович, Н. Я. Прайсман. "Приближен-л/3
ные вычисления в школьном курсе физики").
Этот результат не противоречит вычислениям, проведенным в § 28.
Действительно, подсчитаем среднюю абсолютную погрешность величины а, т.
е. среднее значение абсолютных величин указанных выше погрешностей:
^ ¦ (0+2Ад + М?+.,,+ ^-0Аа,+ 2Да) =
2и +1 \ и л п /
Ад (л + 1)
_ 2/1+1
Тем самым получаем:
В результате находим, что
или
Да=^о = 0,866о,
о =-?- Да= 1,155Д а.
л/з
Эти соотношения близки к тем, которые были получены в § 28. Небольшое
различие в численных значениях коэффициентов связано с тем, что в этих
двух расчетах были использованы разные распределения погрешностей Да
(нормальное и равномерное распределения из § 29).
При прямых измерениях в большинстве случаев соблюдается принцип Крылова.
При вычислениях с приближенными числами в некоторых случаях невозможно
руководствоваться принципом Крылова.
Например,.общая масса трех тел: тi =20 г, т2 = 35 г и тз= 12 г,
взвешенных на настольных (торговых) весах с абсолютной погрешностью
отсчета ±0,5 г, имеет общую абсолютную погрешность ±1,5 г, и,
следовательно, запись результата т = 67 г не соответствует принципу
Крылова.
Установленная выше связь между абсолЬтной погрешностью Да .и средней
квадратической погрешностью о позволяет внести некоторые уточнения в
принцип А. Н. Крылова, что было сделано В. М. Бра-дисом.
Согласно принципу Крылова - Брадиса, всякое приближенное число,
полученное в результате счета, измерения или вычисления, нужно писать
так, чтобы все его значащие цифры были верные и ¦лишь последняя цифра
могла быть сомнительной не больше чем на единицу средней квадратической
погрешности о этого разряда; при этом малые значения погрешностей более
вероятны, чем большие.
В приведенном выше примере Да=1,5 г, средняя квадратическая погрешность
а=-^-=0,87< 1, поэтому в числе 67 г по-
л/з
следняя цифра является значащей.
Для упрощения расчетов можно брать границу абсолютной погрешности
