Оценка точности измерений в курсе физики средней школы - Фетисов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
центральной предельной теоремы Ляпунова: "Если мы имеем достаточно
большое число п независимых случайных величин, то сумма их подчиняется
закону нормального распределения даже тогда, когда случайные величины не
подчиняются нормальному распределению. При этом предполагается, что ни
одна из этих слагаемых случайных величин не доминирует
над остальными, т. е. не играет преобладающей роли в образовании
суммарной случайной величины".
Абсолютная погрешность и является такой случайной величиной, которая
состоит из множества других случайных величин (флуктуаций), обусловленных
различными причинами, а ее приближенное значение вычисляется по формуле:
(знак над буквой (~) относится к опытным данным).
Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние отдельных измерений.
Согласно теории, средняя квадратическая погрешность среднего значения
равна:
§ 32. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СРЕДНЕГО
ЗНАЧЕНИЯ
Случайные погрешности среднего значения х также распределяются по
нормальному закону, и для них можно ввести понятие доверительного
интервала Е, соответствующего доверительной вероятности РЕ.
Границы доверительного интервала можно задать следующей формулой:
где t - любое число.
Рассмотрим рисунок 40. Точки перегиба кривой Гаусса имеют абсциссы
(средняя квадратическая среднего значения).
Если на горизонтальной оси отложить отрезки f=±l, ±2, ±3, то
доверительными интервалами для заштрихованных Площадей будут E = ts, т.
е. Е = + s, ±2s, + 3s.
Площади, ограниченные границами доверительного интервала и
соответствующим участком кривой Гаусса, задают для каждого доверительного
интервала доверительную вероятность (или надежность) Pt. В частности,
Pi=0,68, Р2 = 0,95, Рз=0,997 (см. рис. 40).
2 (Xi-xf ]
п(п- 1)
-3-2 -1 0 1 2 3 -3-2 -1 0 1 2 3 -3-2 -1 0 1
2 3
Рис. 40
84
§ 33. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ И НЕИЗВЕСТНОЙ СРЕДНЕЙ
КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ О
Использование формул нормального распределения случайных погрешностей'для
определения доверительного интервала при заданной доверительной
вероятности или, наоборот, определение надежности для данного
доверительного интервала не представляется возможным, если о неизвестна и
число измерений незначительно.
Вычисляемая практически по отклонениям отсреднего арифметического средняя
квадратическая погрешность о является некоторым приближением к
действительному значению средней квадратической погрешности о.
Распределение случайных погрешностей тем более отличается от кривой
Гаусса, чем меньше сделано измерений.
Английский химик и математик В. С. Госсет, публиковавший свои работы под
псевдонимом Стьюдент, указал на возможность при малом числе измерений
определить доверительную вероятность или доверительный интервал в тех
случаях, когда неизвестна о. Он вывел распределение погрешностей средних
значений, получаемых при малом числе измерений. Кривые распределения
Стьюдента для различного числа измерений п = 2, 5, 10 изображены на
рисунке 41. По формулам Стьюдента составлены две таблицы распределения
Стьюдента, которые показаны ниже.
По формуле E = tss определяется доверительный интервал сре-д-него
значения Е=х - X, где ts является коэффициентом Стьюдента •. и находится
по таблицам.
§ 34. НЕКОТОРЫЕ.ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
: П р и мер 1. Шестикратное взвешивание изделия из ценного ма-
I териала дало следующие результаты: 72,361; 72,357; 72,352; 72,346; I
72,344; 72,340. Определите массу этого изделия.
Рис. 41
85
Значения U для различных значений доверительной вероятности Ps и числа
измерений п (распределение Стьюдента)
п \ 0.5 0.6 0,7 0.8 0,9 0,95 0,98 0.99 0.999
2 1,000 1,376 1,963 3,08 6,31 12,71 31,8 63,7 636,6
3 0,816 1,061 1.336 1,886 2,92 4,30 6,96 9,92 31,6
4 0,765 0,978 1,250 1,638 2,35 3,18 4,54 5,84 12,94
5 0,741 0,941 1,190 1,533 2,13 2,77 3,75 4,60 8,61
6 0,727 0,920 1,156 1,476 2,02 2,57 3,36 4,03 6,86
7 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,45 3,14 4,71 5,96
8 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,36 3,00 3,50 5,40
9 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,31 2,90 3,36 5,04
10 0,703 0,883 1,110 1,383 1,833 2,26 2,82 3,25 4,78
11 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,23 2,76 3,17 4,59
12 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,20 2,72 3,11 4,49
13 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,18 2,68 3,06 4,32
14 0,694 " 0,870 1,079 1,350 1,771 2,16 2,65 3,01 4,22
15 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,14 2,62 2,98 4,14
16 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,13 2,60 2,95 4,07
17 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,12 2,58 2,92 4,02
18 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,11 2,57 2,90 3,96
19 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,10 2,55 2.88 3,92
20 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,09 2,54 2,86 3,88
оо 0,674 0,842 • 1,036 1,282 1,645 1,960 2,33 2,58 3,29
Значение доверительной вероятности Ps для различных значений ts и числа
измерений п (распределение Стьюдента)
2 2.5 3 3,5
2 0,705 0,758 0,795 0,823
3 0,816 0,870 0,905 0,928
4 0,861 0,912 0,942 0,961
5 0,884 0,933 0,960 0,975
6 0,898 0,946 0,970 0,983
