КЭД Странная теория света и вещества - Феинман Р.
ISBN 5-02-013883-5
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос о том, почему мы называем этот процесс «умножением стрелок», требует несколько более подробного объяснения, но это интересно. Давайте взглянем на умножение с точки зрения древних греков (это не имеет никакого отношения к лекции). Греки хотели пользоваться не только целыми числами, поэтому они изображали числа отрезками. Любое число можно представить в виде преобразования единичного отрезка — растягивая или сжимая его. Например, если отрезок А представляет собой единицу (см. рис. 38), то отрезок В представляет собой 2, а отрезок С — 3.
Теперь, как умножить 2 на 3? Мы проводим преобразования последовательно: взяв отрезок А в качестве единицы,
56
мы удлиняем его в два раза, а затем еще в три раза (или в три раза, а затем еще в два раза — порядок умножения не имеет никакого значения). В результате получается
JJ ¦
4-
Рис. 38. Любое число может быть выражено в виде преобразования единичного отрезка посредством растяжения илн сжатия. Если А — это 1, то ? представляет собой 2 (растяжение), в С — 3 (растяжение). Умножение отрезков выполняется путем последовательных преобразований. Например, что значит умножить 3 на 2? Единичный отрезок растягивается в 3 раза, а затем еще в 2 раза, результат — растяжение в 6 раз (отрезок D). Если D — единичный отрезок, то отрезок С представляет собой Vi (сжатие), а отрезок В — Ve (сжатие), н умножение Vi иа Vs означает, что единичный отрезок D сжат до Ve, а затем до V з от этого, давая ответ — сжатие до Ve
отрезок D, длина которого представляет 6. А как умножить V2 на V3? Взяв в качестве единицы отрезок D, сожмем его до V2, а затем до V3 от этого. В результате получится отрезок А, представляющий V6.
Единичная стрелка
/ I \ ^ Ж А
Единичная стрелка^
4 ^ ^
W
If X1
V
V « W = X
W • V =х
Рис. 39. Математики установили, что умножение стрелок может быть. э;акже выражено при помощи последовательных преобразований (в нашем случае —¦ сжатия и поворота) единичной стрелки. Как и при обычном умножении от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Чтобы получить ответ —* стрелку X, вы можете умножать стрелку V иа стрелку W или стрелку W на стрелку V
Умножение стрелок устроено по этому же принципу (см. рис. 39). Мы последовательно проводим преобразование единичной стрелки — только преобразование стрелки
57
включает теперь две операции — сжатие и поворот. Чтобы умножить стрелку W на стрелку V, мы сжимаем и поворачиваем стрелку настолько, насколько требует стрелка V, а затем настолько, насколько требует стрелка W — порядок опять не имеет никакого значения. Таким образом, умножение стрелок подчиняется тому же правилу последовательных преобразований, что и умножение обычных чисел *).
Вернемся к первому эксперименту из первой лекции —. частичному отражению света от единственной поверхности — имея в виду последовательность этапов (см. рис. 40). Мы можем разделить путь отражения на три этапа: 1) свет летит от источника к стеклу; 2) свет отражается от стекла; 3) свет летит от стекла к детектору. Каждый шаг можно рассматривать как сжатие и поворот единичной стрелки на определенную величину.
Вы помните, что в первой лекции мы не рассматривали все пути, которыми свет мог отразиться от стекла. Нам
*) Математики старались найти все возможные объекты, подчиняющиеся алгебраическим правилам (А-\-В=В-\-А, A-B= = В'А ит. п.). Первоначально правила были выработаны для положительных целых чисел, которыми пользовались, чтобы считать, например, яблоки или людей. Числа совершенствовались: придумали нуль, дроби, иррациональные числа, т. е. числа, которые нельзя представить как частное от деления двух целых чисел, отрицательные числа — и все они по-прежнему подчинялись тем же алгебраическим правилам. Некоторые введенные математиками числа сначала представляли для людей трудности — трудно было представить себе половину человека — но сегодня в этом нет ничего сложного. Никто не представляет себе кровопролития и не испытывает моральных неудобств, услышав, что где-то на квадратную милю приходится, в среднем, 3,2 человека. Никто не пытается представить себе 0,2 человека; люди понимают, что означают эти 3,2: если умножить 3,2 на 10, получится 32. Таким образом, некоторые, удовлетворяющие математическим законам явления представляют интерес для математиков, даже если они не всегда соответствуют реальной ситуации. Стрелки на плоскости можно «складывать», приставляя голову одной к хвосту другой, или «умножать» при помощи последовательных поворотов и сжатий. Так как эти стрелки подчиняются тем же алгебраическим правилам, что и обычные числа, математики называют их числами. Но чтобы отличать их от обычных чисел, их называют «комплексными числами». Для тех из вас, кто дошел в изучении математики до комплексных чисел, я мог бы сказать: «Вероятность события — это квадрат модуля комплексного числа. Если событие может произойти несколькими взаимоисключающими способами, вы складываете комплексные числа; если оно может произойти только в результате последовательных этапов, вы умножаете комплексные числа». Хотя эта формулировка может звучать более внушительно, я не сказал ничего нового — я просто использовал другие выражения.
