Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Такое обоснование распадается на установление аппроксимации и устойчивости разностной схемы.
2. Практический вопрос: как фактически решить систему уравнений, т.е. ВЫЧИСЛИТЬ Uk т?
Обоснование метода. Рассмотрим свойства аппроксимации и устойчивости системы разностных уравнений в несколько более общей ситуации. Пусть задача решается в произвольной области Q с гладкой границей. В этом случае сначала надо уточнить построение сетки и аппроксимирующих задачу уравнений. Покроем плоскость (х, у) квадратной, для простоты, сеткой с шагом А. Множество узлов (к, т), для которых точки (хк, ут) попадают строго внутрь Q, назовем внутренними. В каждой такой внутренней точке поместим шаблон используемой схемы и отметим узлы сетки, входящие в шаблон. В случае простейшей схемы шаблон в точке (к, т) «отмечает» еще четыре узла: (к—1,т), (т—1,к), (к + I, т) и {к, т + 1).
Множество отмеченных узлов назовем счетными узлами; именно в них будет определена сеточная функция ик т. Разумеется,
внутренние узлы являются счетными; все остальные счетные узлы образуют множество граничных узлов. В каждом внутреннем узле может быть записано стандартное разностное уравнение; в граничных узлах следует использовать краевое условие. Простейший вариант: для граничного узла (к, т) можно найти на контуре области dQ ближайшую точку (хк т, ук т) и реализовать краевое условие сносом: ик т = <р(хк т, ук т). Очевидно, расстояние между точками (Хк' Ук) и (хк, т’ Ук,т) есть 0(h). (ЭтОГО ДОСТЭТОЧНО, чтобы СЧИТЭТЬ точку на контуре «ближайшей».)
144 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
Пусть U(x, у) — решение исходной дифференциальной задачи, Ukm — ограничение решения на сетку. Подставляя Uk^ т в разностное уравнение, вычисляем (формально) погрешность аппроксимации для внутренних и граничных узлов (к, т) соответственно:
Гк,т
+ иУУУУ> +
U(*t> Ут> ~ ?(**.«> Ук,т) = °(h)'
Итак, если решение имеет четыре непрерывных производных (это обеспечивается двумя производными / и гладкостью ip на контуре), разностная задача имеет первый порядок аппроксимации. Если граничные узлы сетки точно попадают на границу области Q (как для задачи в прямоугольной области), порядок аппроксимации равен двум.
Перейдем к устойчивости. Эллиптические линейные задачи в этом отношении достаточно благополучны. Часто можно установить их устойчивость, используя специфическое свойство — «принцип максимума».
Лемма 1. Пусть сеточная функция ик т удовлетворяет условию (Au)k > 0 во всех внутренних узлах. Тогда max ик достигается
’ кут ’
в граничном узле. (Здесь, конечно, (Au)k т — аппроксимация оператора Лапласа на пятиточечном шаблоне.)
Доказательство. Предположим, что максимум ик т не достигается на границе. Тогда он достигается в какой-то внутренней точке (г, /). В этой точке определена положительная по условию величина (Au)i j. Распишем ее в полных обозначениях:
¦к ("i-U + “i.y-1 ~ 4uU + иі+и + uU+1) > °-
Отсюда
h*
uUj < \ (ui-IJ + uIj-I + ut+lj + uiJ+i)-
Это ЯВНО противоречит тому, ЧТО UiJ — максимум, т.е. не меньше каждого из четырех входящих в правую часть неравенства значений и. Таким же образом можно установить, что из условия (Au)k tn < 0 следует, что минимум ик т достигается на границе.
Построим специальную функцию сравнения — разностную мажоранту Гершгорина. (Читатель, знакомый с начальными фактами теории уравнения Пуассона, легко поймет, что нижеследующее есть простое ее обобщение для разностного уравнения Пуассона.) Предположим, что точка (0, 0) находится внутри ?2 близко к ее «центру». Введем мажоранту — сеточную функцию
Wk, т e \ II/H К** + Ут) - Я2Ь
где ІІ/Ц = max I/(х, у) I, R — пока произвольная постоянная.
-jC. у
§14]
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
145
Утверждение 1. Функция Wk т удовлетворяет разностному уравнению
(Aw)jtm = IIZII, (к, т) — внутренний узел.
Оно непосредственно следует из того, что для функции X2 + у2 значения вторых производных и вторых разностных производных совпадают (при любом шаге сетки). Выберем значение R таким, чтобы область Q помещалась в круг радиусом R и функция wk т, таким образом, была отрицательной в ?3. Введем нормы
Hull =max \ик J, IIZII =max |Z(x, у) I, ||<р|| = max | <р(х, у) \.
k>m (х, y)eQ (х, у)ЄЗП
Теперь мы имеем все для доказательства устойчивости разностного уравнения Пуассона.
Теорема 1. Пусть функция ик т удовлетворяет разностному уравнению Пуассона. Тогда имеет место общая для всех задач (т.е. равномерная по шагу сетки А) оценка
NI ^ IMI + }r2 Wfb
Доказательство. Рассмотрим функцию vk т = ukt т + wk т. Во внутренних узлах сетки она удовлетворяет разностному уравнению:
(Лг0*. m = (Au)k, m + (Aw)t, m = /i, m + И/И * °-
Следовательно, максимум vk т достигается на границе и для любого счетного узла (і,/) можно записать соотношение (условимся, что (к, т) пробегают лишь граничные значения)
Vit J s; max Vkt т = max (икт + wk J *= max ukt т = max ^ т *= ||<р||
к, т к, m к, т к, *п
(здесь мы использовали отрицательность wk m).
