Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Ij = L1U +L2U +L3U + f,
где L1, L2, L3 — операторы, описывающие разные физические процессы (например, L1 — перенос, L2 — диффузию, L3 — еще что-нибудь; можно разделять процессы и по направлениям, т.е. L1 описывает диффузию по х, L2 — диффузию ПО у И Т.Д.).
Предположим, что каждое из «частичных» уравнений
§ = LiU + f, і = 1,2,3,
уже хорошо освоено в вычислительной практике, для них построены апробированные схемы, удовлетворяющие, кроме формального требования аппроксимации, еще каким-то дополнительным требованиям (в дальнейшем мы познакомимся с ними при описании некоторых методов решения задач газовой динамики), а для всего уравнения в целом таких схем построить не удается. Тогда можно использовать расчет по схеме, формально совпадающей со схемой дробных шагов. Этот общий подход получил название «расщепление по физическим процессам» (его более ранний вариант — «расщепление по направлениям»).
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
141
§ 14. Решение эллиптических задач методом сеток
В различных задачах математической физики в качестве важной составляющей части входят краевые задачи для эллиптического уравнения, особенно часто для уравнения Пуассона. Например, в уравнения, описывающие движение плазмы (см. § 24), входит уравнение для потенциала электрических сил и:
где р — плотность заряда. Такое же уравнение входит в систему уравнений, описывающих эволюцию совокупности гравитационно взаимодействующих тел, в систему уравнений Навье—Стокса (динамика вязкой несжимаемой жидкости) и т.д. При расчете описываемых этими уравнениями явлений уравнение Пуассона приходится решать много раз: на каждом шаге по времени. Часто трудоемкость^ расчета определяется именно временем, затрачиваемым на решение этого уравнения.
Рассмотрим вопросы, связанные с быстрыми методами решения уравнения Пуассона. В общем случае нас интересует эллиптическое уравнение
в произвольной области Q с краевыми условиями, для определенности, первого рода:
Здесь /, <р — заданные функции, а^(х) — известные функции, удовлетворяющие следующим естественным условиям:
а) CilJ = Ciji (симметричность);
б) 2 2 аі/ %і%' ** а2 %ї> У I (эллиптичность уравнения, I —
вещественные).
Индексы i, j меняются от 1 до 2 или 3 (в зависимости от размерности пространства, в котором решается задача).
Имея в виду именно такую общую эллиптическую краевую задачу, мы начнем анализ с самого ее простого варианта, так как многие факты уже здесь могут быть обнаружены. Рассмотрим уравнение Пуассона
Au = —4лр,
“lati= Ч>-
J
142
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
с краевыми условиями первого рода: и(х, у) = <р(х, у) на границе квадрата, или, подробнее:
Введем основные объекты метода сеток.
Сетка. Область покрываем сеткой из точек (к, т) с координатами хк = kh, ym — mh (к, т = О, I, ..., N), h = І/N. (Ради простоты, считаем сетку равномерной, с одинаковыми шагами, хотя это, конечно, совсем необязательно.)
Сеточная функция. Приближенное решение ищем в виде сеточной функции ик т, которую, как обычно, трактуем как приближенное значение и (Xk, ут). Функция Uk т определена во всех узлах сетки: {ик т}, (к, т Є О, N).
Аппроксимация уравнения. Сеточную функцию будем искать как решение системы уравнений, полученных простейшим способом, — прямой заменой входящих в уравнение производных на соответствующие разностные отношения:
Это уравнение имеет крестообразный шаблон и называется простейшей пятиточечной аппроксимацией уравнения Пуассона. Оно определено только в так называемых внутренних узлах сетки, т.е. при k, m — l,2, ...,N~ I. В дальнейшем мы будем использовать более компактные формы записи этого уравнения:
и даже Au = / (из контекста будет ясно, о каком, дифференциальном или разностном, уравнении идет речь). Используем и такую форму:
В сущности в этом параграфе всюду в дальнейшем производные обозначают соответствующие разностные аппроксимации.
Аппроксимация краевых условий. Это вопрос совсем простой: Uk 0 = If1 (Xjt) и т.д. Если бы на границе х — 1 краевое условие имело более сложный вид: аих + fiu = ф(у), его можно было бы аппроксимировать так:
U(XtO)^ipl(X), и(х, 1) — ч>3(х)
и(0, у) = <Р2(У), и(1, у) = ч>4(у).
к, т-1
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
143
(Обратим внимание на то, что в угловых точках условий нет, но там функция в сущности и не нужна. Впрочем, можно было бы просто краевые условия определять для к, т = 0, 1, ..., N, потребовав согласования функций ip( в угловых точках.)
Итак, построение аппроксимирующей разностной задачи закончено. Мы получили систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка. (В современных расчетах JV» IO2, стало быть, система имеет порядка IO4 неизвестных.) Эта система имеет специальную структуру: каждое уравнение связывает значения только пяти неизвестных.
Как всегда, возникают два вопроса.
1. Теоретический вопрос: как обосновать метод сеток, т.е. доказать (при тех или иных предположениях), что
I ик, т - и(хк> Ут) I < Chn
