Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
§8]
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАу ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ
83
расположении точек спектра исходной задачи — о расстояниях между ними. Исходя из этого, выберем некоторый шаг Д, заметно меньший расстояния между собственными числами, но не слишком малый, и вычислим значения F(kA) в точках сетки кА, к = 0, ±1, ±2, ... (Вспомним, что каждое значение F(kA) — это
интегрирование задачи Коши.) Построим «график» F(X) по точкам F(kA). Он будет выглядеть примерно так, как показано на рис. 8. Проведя через полученные точки (хотя бы с помощью лекала) гладкую кривую, найдем приблизительные значения корней F(X) = O. Потом, если нужно, их можно уточнить. Заметим, что все это сравнительно просто в самосопряженной задаче, когда нам точно известно, что корни F(X) = 0 находятся на вещественной оси. В общем случае они комплексны и ситуация заметно осложняется (см. § 15, 16).
Решение нелинейных краевых задач. Метод Ньютона. Закончим этот параграф описанием еще одной популярной алгоритмической конструкции, предназначенной для решения нелинейных краевых задач. Общую идею поясним на следующем примере.
Пусть требуется решить краевую задачу для системы уравнений
х = /(х, t), OntnT,
с краевыми условиями хотя бы общего вида Ф(х(0), х(Т)) =0 (где Ф — р-вектор). Имеется некоторая функция x°(t), не удовлетворяющая ни краевым условиям, ни уравнению. Используем ее в качестве начального приближения и построим алгоритм типа метода Ньютона (в функциональном пространстве). Это обобщение и соответствующая теория разрабатывались Л. В. Канторовичем в начале сороковых годов.
В соответствии с общей схемой метода Ньютона следующее (первое) приближение ищем в виде
X1(I) = x°(i) + dx(f),
где 6х(г) — «малая» поправка. В результате получаем уравнение для дх:
х° + дх = f(x° + дх, I).
Линеаризуя его (отбрасывая малые второго порядка), имеем
Рис. 8
х° + дх = /Ix0(I), t] + fx[x°(t), t] дх.
84
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
Чтобы функция X1 (() удовлетворяла краевым условиям, потребуем выполнения условий
Ф[х°(0) + 6х(0), X0(T) + дх(Т)] = 0.
Они тоже линеаризуются:
0 = Ф[х°(0), X0(T)]+фх{0)[х°(0), х°(Г)] 6х(0) +Фх(г) 6х(Т).
Итак, 6х(1) находится решением краевой задачи для системы линейных неоднородных уравнений
iJT-/ЛЛ0, t) 6x = f[x°(t), t]-x°(t)
с известной правой частью. Далее процесс повторяется до получения нужной точности, если он сходится (что требует выбора не слишком случайного начального приближения). Ограничимся общим описанием и укажем, что в последнее время этот метод стали называть методом «квазилинеаризации» (по инициативе Р. Беллмана).
Пример решения краевой задачи. Покажем, как фактически реализуется алгоритм. Задача заимствована из американской литературы, где она характеризуется как «неустойчивая». Сложность решения этой задачи существенно зависит от длины интервала [0, Г]. Поэтому ее решение, которое мы будем считать «точным», было получено методом продолжения по параметру. Сначала нашли решение при T = 10, затем, используя его как начальное приближение, нашли решение при Г =11.6, далее при T = 13.2, T = 14.8, T = 16.4, T = 18.0, T = 19.6 и, наконец, при T = 20.
Будем решать задачу модифицированным методом Ньютона в функциональном пространстве сразу на интервале [0, 20]. Сформулируем краевую задачу. На интервале 0 < t < 20 ищется решение x(t) = {х1, X2, ..., х5}, удовлетворяющее системе уравнений
л —— л ,
X3 = —1.55 X1X3 + 0.1 (х2)2 — (х4)2 + 0.2 X2 + 1,
X4 = X5,
X5 = 1.55 X1X5 + 1.1 х2х4 + 0.2 (х4 — 1). Краевые условия:
X1 = X2 = X4 = 0, t = 0; х2 = 0, х4=1, t = T = 20.
§8]
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ
85
В качестве начального приближения берется функция, удовлетворяющая краевым условиям
Это приближение очень грубое, оно выбрано без использования известного решения задачи.
Теперь поясним детали технической реализации алгоритма.
Сетка, сеточная функция. На интервале [О, Т\ вводится равномерная сетка
В узлах сетки определяется сеточная функция {х„}^=0, хп Є R5.
Невязка. Это очень важный объект, определяющий (наряду с числом узлов N) точность приближенного решения. Обозначая систему X = f(x), определяем невязку r(t) как кусочно-постоянную на сетке функцию:
Итерационный процесс имеет целью свести норму невязки к нулю, т.е. приводит (при успешных вычислениях) к решению системы разностных уравнений, аппроксимирующих задачу со вторым по-
мы невязок в краевых условиях.
Уравнение в вариациях. Напомним, что процесс итераций по схеме модифицированного метода Ньютона состоит в вычислении поправки bx(t) и образовании однопараметрического семейства функций
где h — подлежащий определению шаг. Для определения bx(t) решается краевая задача, получающаяся линеаризацией исходной нелинейной задачи на имеющемся уже приближении x(t). Эта краевая задача имеет вид
5, ч_ IV.и—V.1J ^ t ,
х 10.51/Т - 0.35, 0.5Г < I < 0.9Г,
1/Т,
0.15-0 .StIT,
t<0.\T,
0AT<t<0.5T,
I - tlT,
t > 0.9Т.
рядком. Нормой невязки R считаем (^ г2 dt) 1^2, добавляя еще нор-
