Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Почему книга называется «Введение в вычислительную физику», а не «Методы вычислительной математики», например? Это объясняется характером будущей работы слушателей. Для них вычислительная математика в первую очередь будет инструментом научных исследований, а не их предметом. Методы приближенных вычислений излагаются в книге не как самостоятельная научная дисциплина, а как набор средств, позволяющих продвинуться в исследовании тех или иных прикладных проблем физики, химии, аэромеханики и т.п. Это соответствует характеру образования, получаемого в Московском физико-техническом институте, и научному стилю Института прикладной математики им. М. В. Келдыша. Работа автора в этом институте определила его понимание науки, называемой «вычислительная математика», и нашла отражение как в содержании книги, так и в характере изложения.
He следует думать, что физик-вычислитель обречен лишь на пассивное использование средств, развиваемых математиками. История развития методов приближенных вычислений ясно показывает большую, можно сказать, определяющую, роль решения именно частных прикладных задач, для которых известные методы оказываются неэффективными в силу каких-то специфических особенностей. Наличие важных приложений оправдывает выделение такого (неестественно вырожденного с общематематической точки зрения) класса задач в самостоятельный объект, заслуживающий отдельного углубленного изучения, а привлечение содержательной интуиции и неформализованных знаний той прикладной области, в которой возникла задача, помогает понять ее специфику и разработать эффективный метод решения. Эти
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
же знания существенно используются для контроля приближенных решений задачи, В этой связи с практикой — сила физика, позволяющая ему часто решающим образом влиять на развитие вычислительной математики. Однако в этом же и его слабость: нередко такой специалист воспринимает свою задачу слишком обособленной, понятной только ему и не имеющей никакого отношения к общематематической теории.
В современных методах приближенных вычислений можно выделить методы, имеющие широкое применение и уже ставшие достоянием математической теории, и методы, развитые для специальных, но важных в приложениях классов задач. Этому делению и соответствуют две части книги. Первая часть по содержанию близка к традиционным курсам численных методов, однако отбор материала, внимание, уделяемое тем или иным вопросом, и характер изложения определяются в первую очередь местом, которое эти вопросы занимали в практике автора и его коллег по Институту прикладной математики. В частности, относительно небольшое место отведено таким сильно развитым разделам, как теория интерполяции и квадратурные формулы, а вычислительные методы общей линейной алгебры совсем не отражены в книге. Это объясняется обилием стандартных программ и руководств, отражающих развитие теории соответствующих разделов вычислительной математики.
В ходе изложения мы не стремимся к максимальной общности и безупречной строгости формулировок. Современный стиль изложения математических результатов требует четкой и полной формулировки всех используемых в доказательстве предположений о свойствах встречающихся функций. Среди них можно выделить две характерные группы. Первая группа условий строго оговаривает свойства общего, типичного характера, отсутствие которых с прикладной точки зрения является исключением, редко встречающимся вырождением. Вторая группа условий выделяет специальный, частный случай, рассмотрение которого оправдано наличием важных и интересных приложений. Именно такие условия мы считаем необходимым выделять, обсуждать и комментировать. Условия первой группы обычно используются «неявно». К ним, в частности, относятся предположения о гладкости функций. Вместо строгого оформления таких условий в тексте часто используется термин «гладкая функция», означающий функцию, ограниченную вместе со своими производными того порядка, который используется в выкладках. При этом предполагается, что функция является гладкой в той части пространства, с которой мы имеем дело при решении задачи (т.е. «там, где нам это нужно»).
Такое отступление от педантичного стиля современной математической литературы представляется соответствующим духу «вычислительной физики». В свое время, прослушав аккуратный университетский курс обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором теорема существования была изложена со всеми необходи-
I
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
мыми предположениями, автор вынес впечатление, что решения этих уравнений если и существуют, то только в виде редкого счастливого исключения и на очень малом интервале времени, который иногда можно и продолжить. Таков эффект стиля, при котором все ограничения перечисляются «на равных правах» и не комментируются с некой не очень-то понятной и однозначной «прикладной» точки зрения.
Достаточно большое внимание уделяется прикладному комментарию к некоторым теоремам. Этим формируется своеобразное «прикладное мировоззрение» читателя, его будущие взаимоотношения с теоретическими исследованиями. Дело в том, что алгоритм приближенного решения сложной задачи математической физики практически никогда не бывает строго обоснованным в том смысле, который придает этому слову математика. Полезные теоретические результаты, как правило, относятся к выделенным из него идеализированным фрагментам. Использование строгих результатов в практической вычислительной работе — своего рода искусство, в котором результат оправдывает средства. Это характеризует «вычислительную физику» как науку, в значительной мере экспериментальную. Ее взаимоотношения с чистой теорией достаточно сложны и неоднозначны.
