Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
1918 г.
мира сферического типа при использовании полярных координат, подобных
применявшимся здесь.
Полная энергия J4 рассмотренного нами статического мира равна
Л = ^ (ро У- g + ~ V- ё - ~ cos2 #1 sin j dfti d&a eH>3.
При этом
и
У - g = i?3 sin2 ^ sin
A. - J?o _ 1
x 2 Л2х '
Если V = 2n2i?3 - объем сферического мира, то
Л = Ро^- (21)
Следовательно, в этом случае тяготение не дает вклада в полную энергию.
§ 5. Тяжелая масса замкнутой системы
Обратимся еще раз к рассмотрению того случая, когда система погружена в
"галилеевское пространство", т. е. вновь пренебрежем "Л-чле-ном" в
уравнениях поля. В, § 3 мы доказали, что интеграл /а свободно "парящей" в
галилеевском пространстве системы преобразуется как 4-вектор. Это
означает, что величина, которую мы интерпретировали как
энергию, играет также роль и н е р т н о й массы, в
соответствии со
специальной теорией относительности.
Теперь покажем также, что и тяжелая масса всей рассмотренной системы
совпадает с той величиной, которую мы считаем энергией системы. Пусть в
окрестности начала координат находится произвольная физическая система,
покоящаяся как целое относительно системы координат. Эта система создает
гравитационное поле, которое на пространственной бесконечности может быть
заменено с любой степенью точности гравитационным полем материальной
точки. Таким образом, на бесконечности имеем
л X Д/ /00\
=1 - to -' (22)
где М - постоянная, которую следует назвать тяжелой массой системы; эту
постоянную и требуется определить
9 См. формулу (14) работы, цитированной в начале § 3.
"во
51 Закон сохранения энергий в общей теории относительности
Во всем пространстве строго выполняется уравнение поля
д ( т
Обозначая величину в скобках в левой части через и интегрируя по объему
внутри поверхности S, расположенной в пространственной бесконечности и
охватывающей систему, получаем
^ ($! cos пхх + cos пх2 + cos пх2) dS + ^ $4 dxx dx2 dx3 =
= - ^4 dxi dx2 dx3. (24)
Поскольку как первый интеграл в левой части, так и правая часть,
выражающая взятую с обратным знаком энергию всей системы, не изменяются
со временем, то же должно выполняться и для второго члена
левой части; следовательно, он должен быть равен нулю, так как
ин-
теграл не может все время расти или все время уменьшаться. Вычисление
поверхностного интеграла в левой части не представляет трудности, так как
в пространственной бесконечности можно ограничиться первым приближением;
оно дает, с учетом формулы (22), значение -М. Таким образом,
М = ^ U4 dxx dx2 dx3 = /4 = Е0. (25)
Этот результат подкрепляет наше понимание закона сохранения энергии,
поскольку данное выше определение М не зависело от определения энергии.
Тяжелая масса системы равна величине, которую мы раньше определили как
энергию системы.
Дополнение при корректуре. Дальнейшие размышления по рассмотренному
вопросу привели меня к тому мнению, что для формулировки закона
сохранения импульса-энергии квазисферического (но не квази-
эллиптического) мира следует предпочесть координаты, получающиеся
посредством стереографического проектирования сферы на (трехмерную)
гиперплоскость. В случае равномерного распределения материи имеем
*" = *?- *5+ *5 + *!
Кажущаяся сингулярность, связанная с выбором координат, при этом
удаляется в пространственную бесконечность 10. Эта формулировка
10 Случай квазисферического мира, т. е. случай неравномерно
распределенной, некоторым образом движущейся материи, допускает
аналогичный выбор коор-
661
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
1918 г.
представляется более естественной вследствие симметрии относительно трех
пространственных координат. Доказательство равенства нулю полного
импульса еще проще, чем приведенное в тексте, так как непосредственно
видно, что пространственные преобразования
ОС-^ = ¦ ITj ОС-^ •- ^
ОС2 - ¦ ¦ОС2 И ОС 2 '- -#2
/у"--/у* /у"_____ /у"
Л3 - Х3 Х3 - Х3
можно получить непрерывным изменением координат (поворотом системы
координат), откуда, как и в основном тексте, следуют равенства:
Л = -Л,
J 2 - J2)
/3 = J3.
Путем вычисления величин Ug я убедился, что интеграл по поверхности
"бесконечно большой" сферы 11, охватывающей начало координат, который
появляется при интегрировании по объему первых трех членов выражения
аи; эй* эи; аа"
дх% дх2 дхз dxi '
равен нулю (по крайней мере, в частном случае равномерно распределенной
материи). При этом выборе координат гравитационное поле также не дает
вклада в энергию мира.
Поступила 30 мая 1918 г.
динат в той мере, в какой соответствующая выбору координат кажущаяся
сингулярность поля смещается в xi = хг = х3 - ^ оо и имеет такой же
характер, как и в случае равномерно распределенной покоящейся материи.
Т. е. по поверхности х\ -j- х\ + a?g = R2 с бесконечно большим R.
1919
52
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *
Согласно телеграмме, досланной проф. Лоренцом автору этих строк,
английская экспедиция под руководством Эддингтона, направленная для
