Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований имеют тензорный характер, из равенств (10) следует, что
всюду справедливы соотношения
С другой стороны, поскольку система К может быть переведена в систему К'
путем непрерывного изменения, на основании нашей общей теоремы
инвариантности для /0 справедливы равенства
Из равенств (11) и (12) следует, что и /2 обращаются в нуль. Аналогично
можно доказать обращение в нуль^ и /3, пользуясь тем, что непрерывным
изменением координат может быть введена система К', связанная с К
преобразованиями
щие значения Jg, то величины Jg и Jд всегда равны между собой, если
существует непрерывный переход между К и К\ обеспечивающий соблюдение
"граничного условия".
$1 = Л - '0'1,
'б'г ~ Л - 1
'б'з = *з,
f = t.
(10)
Отсюда следует также, что
(И)
(12)
Й1! = Л Йь
§2 - ^2) й3 = 2я f -1.
(10а)
esc
51
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
Теперь мы должны только привести доказательство того, что преобразования
(10) и (10а) могут быть получены путем непрерывного преобразования
системы координат. При этом мы можем ограничиться рассмотрением
трехмерной сферы, оставляя в стороне координату t.
Пусть в четырехмерном эвклидовом пространстве (с координатами av)
рассматриваемая сфера удовлетворяет уравнению
Эти декартовы координаты в четырехмерйом эвклидовом пространстве связаны
со сферическими коардинатами формулами
При повороте системы координат uv вокруг центра сферы вместе с ней
поворачивается также система координат 6V и соотношения (13) остаются
справедливыми также для обеих систем в повернутом положении.
В эвклидовом пространстве всегда могут быть произведены такие повороты
декартовой системы координат, при которых из всех осей поворачиваются
только две, а остальные остаются неподвижными. Среди этих поворотов
выделены повороты на угол я, которым отвечает преобразование типа
Соотношения (14) или (15) с учетом формул (13) и соответствующих формул
для штрихованной системы непосредственно дают преобразования
и1 + + Ид + и\ = R2.
их = R cos б*!, и2 = R sin 6i cos &2> и3 = R sin б1! sin б'2 cos б3, и4 =
R sin б1! sin б'2 sin б,3.
(13)
щ = - их.
и2 =?= и 2,
Щ = из >
и4 = - и4.
(14)
Таким же является и преобразование
(15)
42 а. Эйнштейн, том I
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
1918 г.
(10) или (Юа), которые тем самым могут быть получены путем непрерывных
преобразований системы координат dv.
Тем самым наше утверждение доказано (кроме подтверждения выполнимости
"граничного условия"). Для замкнутого мира как целого импульс равен нулю,
а значение полной энергии не зависит от времени и от выбора системы
координат.
§ 4. Энергия сферического мира
Вычислим значения величин 11о для сферического мира с равномерно
распределенной несвязанной материей главным образом для проверки того,
выполняется ли, по крайней мере в этом простейшем случае, условие (9), с
которым связаны результаты предыдущего параграфа. Мы должны положить
Но = + (to)i + (1о)г" (16)
где величины (1оД соответствуют Я-члену, а величины (to)2 являются
функциями компонент g^,v. Формула
dx"
ds
dxw
ds
дает в нашем случае для $>1 следующие значения компонент:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 РоК-,
(17)
Далее, из уравнений гравитационного поля с учетом Я-члена нетрудно
получить значения компонент (^Д:
(x(to)i =)
я V- о о о
о
XV-
0
о
о
о
XV-
0
о
о
о
XV-,
(18)
Значительно более трудным является вычисление компонент (to)2. В основу
его лучше всего положить уравнение (20) цит. соч. Однако оказы-
вав
51
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
вается практически удобным ввести вместо giAV и g^ величины g^v Y-g~g^v
(ё^ У - ё) = как это иногда делал Г. А. Лоренц. Тогда будут справедливы
соотношения
последнее из которых легко вывести из формул Г. Вейля в § 28 его книги
"Пространство, время, материя" (в ближайшее время выходит в свет) 8. Из
(18), (18а) и (7) следуют выражения для (to)2:
здесь каждый столбец отвечает некоторому значению v, а каждая строка-
некоторому значению ст. Из (17), (18) и (20) с учетом (16) получаются
компоненты энергии Щ.
Условия (9) выполняются для всех компонент, кроме компоненты Uj; это
исключение связано с тем, что компонента (t})2 при ^ = 0 и ^ = я не равна
нулю. Тем не менее интеграл
обращается в нуль, так как величина cos2 6^ sin Ф2 имеет одно и то же
значение при ^ = 0 и ^ = я. Таким образом, в рассматриваемом нами частном
случае интегралы
действительно обращаются в нуль, как мы и предположили в предыдущем
параграфе. Весьма вероятно, хотя это и потребовало бы еще отдельного
доказательства, что все сказанное справедливо для любого замкнутого
8 Н. W е у 1. Raum, Zeit, Materie, 5. Aufl. Berlin, Springer Verlag,
1923.- Прим.
(19)
a(c)' l
dC ~~ 2%
/ COS2 §1 sin $2
0
0
0
0
sin COS $1 cos $2 - COS2 $1 sin $2
о 0
0
0
la 0 0
- cos2 ¦Oi sin $2 0
0 - cos2 sin Ф2
(20)
\
o
¦&! = ТЕ
(c)1=0
ред.
42*
65ft
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
