Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Эта формулировка встречает возражения коллег по той причине, что Ua и to
не являются тензорами, тогда как, по их мнению, все величины, имеющие
физический смысл, должны быть скалярами или компонентами тензоров. Далее,
они подчеркивают3, что в некоторых случаях путем соответствующего выбора
системы координат можно добиться обращения в нуль всех Щ или задать им
отличные от нуля значения. Поэтому почти все сомневаются в уравнении (1).
3 См., например, Н. Bauer. Phys. Z., 1918, 19, 163.
651
Закон сохранения энергии в общей теории относительности
1918 г.
Для опровержения этого я хочу показать здесь, что с помощью уравнения (1)
понятия энергии и импульса устанавливаются столь же четко, как и в
классической механике. Энергия и импульс замкнутой системы полностью
определяются независимо от выбора системы координат, если только задано
состояние движения системы (рассматриваемой как целое) относительно
системы координат; так, например, "энергия покоя" любой замкнутой системы
не зависит от выбора системы координат. Данное ниже доказательство в
существе своем основывается лишь на том, что уравнение (1) справедливо
для произвольного выбора системы координат.
Выберем систему координат так, чтобы все линейные элементы (О, О, О, dx^
были временно-подобны, а все линейные элементы {dxi, dx2, dx3, 0) -
пространственно-подобны; тогда четвертую координату мы можем в известном
смысле назвать "временем".
Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности
энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области В. Это
будет только тогда, когда вне области В компоненты g^ постоянны, т. е.,
когда рассматриваемая система как бы погружена в "галилеевское
пространство", и мы пользуемся "галилеевскими координатами" для описания
окружения системы. Область В имеет бесконечную протяженность в
направлении оси времени, т. е. она пересекает любую гиперплоскость ж4 =
const. Ее сечение с некоторой гиперплоскостью ж4 = const всегда
ограничено со всех сторон. Внутри области В не существует "галилеевской
системы координат"; выбор координат внутри В ограничен единственным
условием, а именно: они должны непрерывно переходить в координаты вне В.
Ниже мы рассмотрим несколько таких систем координат, которые вне В
совпадают друг с другом.
Интегральные законы сохранения импульса и энергии получаются из уравнения
(1) путем интегрирования последнего по xi, хг, х3 по области В. Поскольку
на границах этой области все Ua равны нулю, то
Эти четыре уравнения и выражают, по моему мнению, законы сохранения
импульса (<з = 1, 2, 3) и энергии (а = 4). Обозначим входящий в уравнение
(3) интеграл через /0. Я утверждаю теперь, что величины /" не зависят от
выбора координат для любой системы координат, совпадающей вне области В с
одной и той же галилеевской системой.
§ 2. В какой мере энергия и импульс независимы от выбора системы
координат?
(3)
652
51
Закон сохранения энергии в обн^еи теории относительности
Интегрируя (3) в пределах от ж4 = tx до хх - ti, получаем сначала для
системы координат К
(Лз)1 = (Лз)г- (4)
Если ввести, кроме того, вторую (штрихованную) систему координат
К', совпадающую вне области В с К, то мы точно так же получим для сечений
х± - tx и xi = t2
{J 0)1 - (^"0)2*
Введем теперь третью систему координат К", подобную рассмотренным,
которая, не нарушая непрерывности, совпадает в окрестности сечения х4 =
tx с системой К, а в окрестности сечения ж4 = t2-с системой К'.
Интегрирование уравнения (3) между этими сечениями дает
(^o)i - (^0)2* (5)
Из этих трех соотношений следует, что /0 не зависит от
выбора коор-
динат внутри области В. Таким образом, величины Ja изменяются только в
зависимости от выбора галилеевской системы координат вне области В.
Следовательно, мы исчерпаем все возможности, если поступим так: прежде
всего, мы установим систему координат, которая вне В выбирается
галилеевской, а внутри В - произвольной, а затем будем пользоваться
только такими системами координат, которые связаны с выбранной нами
системой преобразованиями Лоренца. Относительно этой группы
преобразований величины Uq имеют тензорный характер, и методами
специальной теории относительности можно показать, что (/0) является 4-
вектором. Следовательно, так же как в специальной теории относительности,
можно положить
dx"
(8)
dxa
где Е0 - "энергия покоя", скорость (4-вектор) системы (как целого).
Величина Е0 равна компоненте /4, если выбрать систему координат так,
чтобы J1 - J2 = J3 = 0.
Таким образом, несмотря на свободный выбор координат внутри В, энергия
покоя или масса системы является точно определенной величиной, не
зависящей от выбора системы координат. Это тем более замечательно, что
вследствие нетензорного характера Щ нельзя дать инвариантной
интерпретации компонентам плотности энергии.
Если представить себе, например, пространство внутри области В также
пустым, то определенная таким образом система имеет равную нулю полную
