Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
заключенному внутри S, получаем
ШГ {\ ^ + *1) ^ (ti cos (nxi) + *4 cos (nx%) -j- tj3 cos (nx3) J da.
(36)
4 ' s
Нет никаких оснований заставить понимать под плотность энергии
гравитационного поля, а под (t^, t|, t^) - компоненты плотности потока
гравитационной энергии. Можно, однако, утверждать следующее: если
объемный интеграл от t* мал по сравнению с объемным интегралом от
плотности "материальной" энергии ?4, то правая часть наверняка
представляет собой потерю энергии материальной системой. Только это и
использовалось в настоящей и прежней моих работах о гравитационных
волнах.
Леви-Чивита и несколько ранее, хотя и менее убедительно, Г. А. Лоренц
предложили отличную от (35) формулировку законов сохранения. Он, а также
другие авторы возражают против особой роли уравнений (35) и против
изложенной выше интерпретации, поскольку величины tg не образуют тензора.
С последним можно согласиться, однако мне неясно, почему физический смысл
должен приписываться только тем величинам, которые обладают
трансформационными свойствами компонент тензора. Необходимо лишь, чтобы
системы уравнений были справедливы при любом выборе системы отсчета, что
выполняется в случае системы уравнений (35). Леви-Чивита предлагает
другую формулировку закона сохранения энергии-импульса. Он записывает
уравнения гравитационного поля в виде
Tim Aim - 0, (37)
где Tim- тензор энергии материи, а А{т- ковариантный тензор, зависящий от
компонент gvv и от их первых двух производных по координатам. Величины
Aim интерпретируются как компоненты тензора энергии гравитационного поля.
Конечно, нельзя выдвинуть логического возражения против такого рода
наименования. Однако я нахожу, что из уравнения (37) нель-
645
О гравитационных волнах
1918 г.
зя вывести таких следствий, какие мы привыкли делать из законов
сохранения. Это связано с тем, что, согласно (37), компоненты тензора
полной энергии всюду обращаются в нуль. Уравнения (37), в
противоположность уравнениям (35), не исключают, например, того, что
материальная система может полностью раствориться, не оставив никакого
следа. В самом деле, согласно уравнению (37) [но не уравнению (35)], ее
полная энергия с самого начала равна нулю; сохранение этого значения
энергии не требует дальнейшего существования системы в каком-либо виде.
Поступила 31 января 1918 г.
50
КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К РЕШЕНИЮ ДЕ СИТТЕРА УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННОГО
ПОЛЯ*
Недавно де Ситтер, которому мы обязаны глубокими исследованиямй в области
общей теории относительности, дал решение уравнений гравитационного
поля1, которое, по его мнению, могло бы описывать метрическую структуру
мирового пространства. Однако нам кажется, что против допустимости такого
решения имеется веское возражение, которое и будет изложено ниже.
Данное де Ситтером решение уравнений поля
где под г, ф, 0, t следует понимать координаты (ап,..., ж4).
Примем как требование теории справедливость уравнений (1) для всех точек
вконечной области пространства. Это может быть лишь в том случае, если
компоненты g^, как и соответствующие контравариантные компоненты g^v
(вместе с их первыми производными), непрерывны и дифференцируемы; в
частности, нигде в конечной области не должен обращаться в нуль
определитель g = |^|- Это утверждение требует, однако, еще дальнейшего
уточнения. Точка Р называется "точкой, рас-
* Kritisches zu einer von Iderrn du Sitter gegebenen Losung der
Gravitationsgleichun-gen. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1918, 1, 270-
272.
1 De S i t t e r. Proc. Acad. Amsterdam, XX, 30 Juni 1917; Monthly
Notices of the
Roy. Astron. Soc., LXXV1II, N 1.
(1)
имеет вид
- 0 (для всех значений индексов),
(2)
ds2 = -dr2-.ft2sin2-^- d ф2 -|- sin2 ф dQ2 -j- cos2 c2dt2
647
Замечания к решению де Ситтера уравнений гравитационного поля
1918 г.
положенной в конечной области" тогда, когда она может быть соединена
кривой с раз навсегда выбранной исходной точкой Р0 так, чтобы взятый
вдоль этой кривой интеграл
\ds
к
имел конечное значение. Далее, условие непрерывности компонент g^v и gv-v
не следует понимать как требование существования такого выбора координат,
при котором это условие удовлетворялось бы во всем пространстве.
Очевидно, надо потребовать лишь, чтобы для окрестности каждой точки
существовал выбор координат, при котором для этой окрестности выполнялось
бы условие непрерывности; это ограничение требования непрерывности
естественно следует из общей ковариантности уравнений (1).
Для решения де Ситтера, согласно (2), имеем
g = - i?4 sin4 sin2 \|з cos2 .
Следовательно, g обращается в нуль прежде всего при г = 0 и при i|) = (X
Однако такое поведение означает, как легко можно доказать с по-мощыр
соответствующего изменения выбора системы координат, лишь кажущееся
нарушение условия непрерывности. Но, кроме того, g обращается в нуль
также и при г - R, причем здесь уже речь идет, по-видимому, о разрыве
непрерывности, который нельзя устранить никаким выбором координат. Точки
