Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 240

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 263 >> Следующая

zAj -[- А4 zA2 zA3 2z'A4
откуда для компонент 77^ имеем
1 ,
ф' ^[XV
Ах- z'A4 A2 A3 iAj -(- A4
А2 - Ai - z'A4 0 z A2
A3 0 1 M 1 >> i A3
ZAj -j- A/4 i A2 z'A3 Aj -("^4
(20)
Если теперь положить, что функция ф из формулы (19) связана с функ-цией /
из формулы (14) соотношением
Ф' = /, (21)
то оказывается, что с точностью до обозначений постоянных, компоненты из
(20) совпадают с компонентами у' из (14) - (17).
Таким образом, те гравитационные волны, которые не переносят энергии,
могут быть получены посредством простого преобразования координат из
системы, свободной от поля; их существование является (в этом смысле)
лишь кажущимся. Реальными в собственном смысле этого слова являются,
следовательно, только такие бегущие вдоль оси х волны, ко-
Т22 "^33 ' /
торые соответствуют распространению величин 9- ¦ и у23 (или
величин
Т22 - ТЗЗ
2 и у2з)- Эти два типа волн отличаются друг от друга не по существу, а
только по своей ориентации. Волновое поле изменяет углы в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения. Плотности потока энергии,
импульса и энергии определяются формулой (16).
§ 4. Излучение гравитационных волн механическими системами
Рассмотрим изолированную механическую систему, центр тяжести которой в
течение продолжительного времени совпадает с началом координат. Пусть
происходящие в системе изменения настолько медленны, а их
пространственная протяженность настолько мала, что световое время,
esa
О гравитационных волнах
1918 г.
соответствующее расстоянию между двумя материальными точками системы,
можно рассматривать как бесконечно малое. Требуется определить
гравитационные волны, испускаемые системой в направлении положительной
оси х.
Принятое ограничение позволяет для достаточно большого расстояния Я точки
наблюдения от начала координат заменить (7) равенством
TVv = 2л/? ^ ^°' ^°' Z°' ^ *) dV° (^а)
Мы можем ограничиться рассмотрением волн, переносящих энергию; тогда, в
соответствии с результатами § 3, мы должны образовать только
компоненты Y2a и V2 {т22 Т33)- Входящие в правую часть равенства
(7а) объемные интегралы можно преобразовать по способу, предложенному М.
Лауэ. Проведем здесь подробно только вычисление интеграла
$ TndV".
Умножая оба уравнения сохранения импульса дТы дТ2а | дТлз , дТ24
^
дх\ ' дх2 дхз
дТзх . дТ3J . дТзз дТ 34 _
dxi dxi дхз дхх ^
11 " соответственно на ^ х3 и х2, интегрируя их по всей материальной
системе и затем складывая друг с другом, получаем после простого
преобразования с помощью интегрирования по частям
- ( T"dV" + -L -±~ {((ж8Ти + xtT") dV"} = 0. (*)
Второй интеграл можно преобразовать с помощью уравнения сохранения
энергии
дТ4J дТ42 . дТi3 дТ44 ~
дх\ ' дх2 дх3 ' Эж4 '
умножая последнее на х2х3, интегрируя и преобразуя результат с помощью
интегрирования по частям. При этом получаем
2* ^ (^3^42 Х2^ 43) dVо --2 faT~ | ^ Х2Х3,Т44^В0 | = 0.
Подставляя это в соотношение (*), находим
\ T^vо = 4{\x^T^dro},
040
49
О гравитационных волнах
d2 d2
или, заменяя - на - а Ти - на взятую с обратным знаком плот-
4
ность материи (-р),
тюау0 = 4-3.
уз". (22)
Здесь введено обозначение
^ x^XvpdV0; (23)
величины 3 представляют собой компоненты (переменного во времени) момента
инерции материальной системы.
Аналогично получаем
(^22 ^зз) dV0 = ~2~ (З22-Ззз)- (24)
Из равенства (7а) на основании соотношений (22) и (24) получается
Т23 = ~ 2лТГ ^23' (25)
722 733_______И / $22- 5зЗ \
2------- 4JIR [--------2 J ' V )
Компоненты ^Vv следует брать, согласно равенствам (7а), (22) и (24), для
момента времени t - R, т. е. они являются функциями t - R или также, при
больших R вблизи оси, функциями t - х. Таким образом, выражения (25) и
(26) описывают гравитационные волны, плотность потока энергии которых в
направлении оси х, согласно формуле (16), равна
к
i 64я2Л2
522 ------ Ззз \2 , CV2
"Г 023
(27)
Поставим себе еще задачу - вычислить полное излучение гравитационных волн
системой. Для решения этой задачи найдем прежде всего излучение энергии
рассматриваемой механической системой в направлении, определяемом
направляющими косинусами av. Этот вопрос можно решить путем
преобразования координат или, проще, сводя его к следующей формальной
задаче.
Пусть - симметричный тензор (в трехмерном пространстве),
а av - вектор. Будем искать скаляр S, являющийся функцией Ay,v и аУ,
представляющей собой целую и однородную функцию второй степени
41 А. Эйнштейн, том I №
О гравитационных волнах
1918 г.
относительно и при ах = 1, а2 = а3 = 0,
переходящий в
+ ^23 •
2
Искомый скаляр будет представлять собой функцию скаляров 2
S-ApV, 2 -Au.va"<Xv, 2 ИмоИ^ааах. С учетом того, что оба последних
[XV р-v |Х0Т
скаляра при av = (1, 0, 0) переходят соответственно в Ап и
2 А\^
находим, что искомый скаляр имеет вид ^
S =---------(2 ^Р-) "I 2~ 2 Ара&р(%с -) ^ 2 АраЯр&а j Аг
[х [х ра ра
+ ~~2~ 2^v 2 -^-[ха^[хтССаат- (28)
[XV [ХОТ
Ясно, что S будет представлять собой плотность гравитационного излучения,
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed