Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
какую Т^а играют для материи. Но для несвязанной весомой материи, если
ограничиться величинами первого порядка малости, имеем
= = Р (**-_!!<"). (Ю)
где скаляр р представляет собой плотность материи. Величины Ущ У12) • •
•" У33, следовательно, соответствуют компонентам давления; Уы" У24" У34
или Ти, Ti2, Ti3 представляют собой умноженный на У-1 вектор плотности
импульса или плотности потока энергии, а Т44 - взятую с обратным знаком
плотность энергии. Аналогичный смысл имеют компоненты ^0, связанные с
гравитационным полем.
В качестве примера рассмотрим сначала поле покоящейся точечной массы М.
Из равенств (7) и (10) непосредственно следует, что
r' (И)
'44 2яг' ' '
тогда как все остальные компоненты обращаются в нуль. Для ком-
4 Упомянутая в начале статьи ошибка в нашей прежней работе состоит в том,
что
ду ^рс
мы подставили в правую часть уравнения (8) -- вместо к-. Эта ошибка
дх.. [х
1Х
требует также переработки § 2 и 3 упомянутой работы.
О гравитационных волнах
1918
понент у получаются, согласно (И), (За) и (1), значения, впервые
приведенные де Ситтером:
1 - О О
О
х М 4л; г
х М 4л г
1 -
х М 4л г
О
о
о
о
. , X м
^4л г
(11 а)
Скорость света с, определенная в общем виде уравнением
О = ds% = 2 'g dx" dxv,
(XV
получается здесь из соотношения
1 + ST Т-) № + d'J2 + *') - (! - w ^r) de = °-
Таким образом, при нашем выборе системы координат, скорость света
¦rdx% -f- dy2 -)- dz2
V
dt2
= 1
xM 4л r
(12)
хотя и зависит от места (координат), но не зависит от направления. Из
(11а) следует также, что малые твердые тела при перемещении остаются
подобными самим себе, причем их линейные размеры меняются как (l - .
Уравнение (9) дает в нашем случае для компонент у:
_ хЛ/2 /Уо ~ 32л2 \ г6
(для индексов 1, 2, 3),
tli - ^24 - ^34 - О" ХМ2 1
(13)
^44 -
64л2
Значения компонент у существенно зависят от выбора системы координат; на
это обстоятельство уже давно обратил мое внимание в своем письме Г.
Нордстрем 5. При выборе системы координат в соответствии
5 Ср. также работу Шредингера (Schrodinger. Phys. Zeitschr., 1918, 1, 4)
и ответ Эйнштейна (Статья 47).- Прим, ред.
вае
49
О гравитационных волнах
с условием \g\ = 1, при котором для случая материальной точки мы
приводили раньше для компонент g^0 выражения:
^0 = - V-4^-7?- " (индексы 1, 2, 3),
§ 14 = ^24 = g34 - О,
, %М 1
g44 = 1 - -7- * - ,
0(14 4 л г '
все компоненты энергии гравитационного поля обращаются в нуль, ¦если их
вычислять с помощью формулы
|avX|3 (j-vX
с точностью до величин второго порядка малости.
Можно было бы предположить, что посредством соответствующего выбора
системы отсчета всегда можно добиться обращения в нуль всех компонент
энергии гравитационного поля, что было бы в высшей степени интересно.
Однако легко показать, что это, вообще говоря, не так.
§ В. Плоская гравитационная волна
Для нахождения плоских гравитационных волн будем исходить из выражения,
удовлетворяющего уравнениям поля (6):
Т;у = а^/(*1 + й4). (14)
Здесь а - вещественные постоянные, a / - вещественная функция от (хг +
гж4). Из уравнений (5) получаем соотношения
сс44 -f- i(Xj4 = О, cc2i -j- г<х24 = О,
(15)
a3i -j- iа34 = О, cc4i -j- /ос44 = 0.
Если условия (15) выполнены, то (14) представляет собой гравитационную
волну. Для более точного выяснения ее физическои природы вычислим
соответствующую ей плотность потока энергии /41/ь
637
О гравитационных волнах
1918 г.
Подставляя в уравнение (9) выражение для задаваемое (14) и (15)" получаем
Ct22 - ^33\2 , м2
2 ) 23
(16)
Этот результат замечателен тем, что из шести произвольных постоян-ных,
входящих в (14) [с учетом равенств (15)], в выражение (16) для плотности
потока энергии входят лишь две. Волна, для которой (а22 - а3з) и а23
равны нулю, не переносит энергии. Следовательно, такая волна в известном
смысле реально не существует, в чем проще всего убедиться следующим
образом.
Прежде всего заметим, что с учетом равенств (15) матрица, составленная из
коэффициентов a^v, для волны, не переносящей энергии, имеет вид:
(CC.V -)
a P T icn
P 6 0 Ф
T 0 6 IT
ia ф iy- -a
(17)
где a, Р, у, б представляют собой четыре произвольно и независимо друг от
друга выбранных числа.
Рассмотрим теперь свободное от поля пространство, линейный элемент
которого ds может быть выражен через соответствующим образом выбранные
координаты (хх, х%, х3, ж4) в виде
- ds == dx4 -(- dx% -|- dx3 -|- dx4 . (18)
Введем теперь новые координаты 00 Qj Xz, ж4 с помощью
соотно-
шений
х у = Xv - Хуф (хх -f- г'ж4). (19)
Здесь Xv - четыре вещественные бесконечно малые постоянные,
Ф - вещественная функция аргумента {хх + i^4). Из соотношений (18) и (19)
следует, что если в них пренебречь величинами второго порядка
относительно X, то
ds* = - v = - 2 dxi + 2ф' {dxx + idxt) 2xv6?rv.
638
49
О гравитационных волнах
Отсюда для соответствующих компонент 7^ получаются следующие значения:
2А^ А2 А3 zA 1 -j- А4 / 1 _\ ^2 0 0 z'A2
wTl"-' х3 о о а,
