Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
незначительности скоростей звезд совместимы с гипотезой пространственной
замкнутости Вселенной; правда, для осуществления этого необходимо
некоторое обобщение уравнений гравитационного поля.
§ 3. Пространственно замкнутый мир с равномерно распределенной матерней
Согласно общей теории относительности, метрический характер (кривизна)
четырехмерного пространственно-временногб континуума определяется в
каждой точке находящейся в ней материей и состоянием последней. Поэтому
вследствие неравномерности распределения материи метрическая структура
этого континуума должна быть крайне запутанной. Но если говорить о
структуре пространства в целом, то мы можем представить материю как бы
равномерно распределенной по отень большой области пространства, так что
ее плотность распределения становится чрезвычайно медленно меняющейся
функцией. В данном случае мы поступаем так же, как геодезисты, которые
крайне сложную в деталях поверхность Земли заменяют приближенно
эллипсоидом.
Самое важное из всего, что нам известно из опыта о распределении материи,
заключается в том, что относительные скорости звезд очень малы по
сравнению со скоростью света. Поэтому я полагаю, что на первых порах в
основу наших рассуждений можно положить следующее приближенное допущение:
имеется координатная система, относительно которой материю можно
рассматривать находящейся в течение продолжительного времени в покое. По
отношению к этой координатной системе контрава-риантлый тензор материи в
силу (5), имеет следующий простой вид:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 р
Скаляр р (средней) плотности распределения априори может быть функ-нией
пространственных координат. Однако если мы предполагаем, что мир
пространственно замкнут, то естественно сделать гипотезу, что р не
зависит от места; эту гипотезу мы и положим в основу дальнейших рас-
суждений.
608
44
Вопросы космологии и общая теория относительности
Что касается гравитационного поля, то из уравнения движения материальной
точки
следует, что материальная точка в статическом гравитационном поле может
находиться в покое только тогда, когда g44 не зависит от места. Так как,
кроме того, мы для всех величин предполагаем независимость от временной
координаты я4, то для искомого решения можем потребовать, чтобы для всех
xv
Далее, как это обычно делается в статических задачах, нужно положить, что
Теперь остается еще определить те компоненты потенциала гравитационного
поля, которые характеризуют чисто пространственно-геометрические свойства
нашего континуума (gn, g 12, -, ?зз)- Из нашего допущения о равномерности
распределения масс, создающих поле, следует, что и кривизна искомого
метрического пространства должна быть постоянной. Таким образом, при
заданном распределении масс искомый замкнутый континуум (хг, х2, х3 при
постоянном ж4) должен быть сферическим пространством.
К такому пространству мы приходим, например, следующим образом. Будем
исходить из эвклидова пространства (§4, ?2, ?*) четырех изме-
рений с линейным элементом da; пусть тогда
где R - постоянная. Точки этой гиперповерхности образуют трехмерный
континуум - сферический объем с радиусом кривизны R.
Четырехмерное эвклидово пространство, из которого мы исходили, служит
только для удобного определения нашей гиперповерхности. Нас интересуют
только точки этой поверхности, метрические свойства которой должны
совпадать со свойствами физического пространства с равномерным
распределением материи. Для описания этого трехмерного континуума можно
пользоваться координатами |4, |2, Ез (проекции на гиперплоскость ?4 - 0),
так как, в силу (10), можно |4 выразить через |3. Исключая |4 из (9),
получаем следующее выражение для линейного
39 а. Эйнштейн, том I 609
gu = 1.
(7)
§ 14 - &24 - &34 - 0.
(8)
(10)
(9)
Вопросы космологии и общая теория относительности
1917 г.
элемента сферического пространства:
de2 =
[ (И>
T[J.v - ^[J-V H"
7?2 - p2'
где 6^ = 1, если p = v, и 6^ = 0, если p =f= v, a p2 = |2 + У + Ез-
Выбранные координаты удобны, когда речь идет об исследовании окрестности
ТОЧКИ 11 = 12 = 13= 0.
Итак, нам дан теперь также и линейный элемент искомого четырехмерного
пространственно-временного мира. Очевидно, для потенциалов g^,, у которых
оба индекса отличаются от 4, мы должны написать
- (^sxv + Л2 _ (ж2 + х2 + дф J • (12>
Это равенство вместе с (7) и (8) вполне определяет свойства масштабов,,
часов и лучей света в рассматриваемом четырехмерном мире.
§ 4. О дополнительном члене, который необходимо ввести в уравнения
гравитационного поля
Уравнения гравитационного поля, предложенные мной для произвольно
выбранной системы координат, имеют следующий вид:
где
Г - _ д Ч V1 4- Ч Ч IV Ч -U d2 lg У- g __ Гр vl д lg У-, \ ot J 1 Р J I а
i 1 ct J д%а
(13)
Система уравнения (13) никогда не будет удовлетворена, если вместо
подставить их значения из (7), (8) и (12), а вместо (контравариантного)
тензора материи энергии-значения (6). В следующем параграфе будет
