Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
кругосветного путешествия, чтобы заметить неэвклидовость мира, в котором
они живут. Они могут убедиться на всяком участке своего мира, если этот
участок не слишком мал. Они проводят из некоторой точки во всех
направлениях "прямые отрезки" (дуги окружностей, с точки зрения
трехмерного пространства) одинаковой длины. Линию, соединяющую свободные
концы этих линий, они будут называть "окружностью". Согласно эвклидовой
геометрии на плоскости, отношение длины окружности, измеренной некоторой
линейкой, к длине диаметра, измеренной той же линейкой, равно постоянной
величине я, не зависящей от диаметра окружности. Наши плоские существа на
своей сферической поверхности нашли бы для этого отношения следующую
величину:
sin (r/R)
(r/R) '
т. е. величину, меньшую л, причем отличающуюся от л тем значительнее, чем
больше радиус окружности по сравнению с радиусом R этого мира (сферы). Из
этого соотношения существа, обитающие на сфере, могут определить радиус R
своего мира, если даже их измерениям доступна лишь сравнительно небольшая
часть их мира-сферы. Но если эта часть слишком мала, то они уже не в
состоянии установить: находятся ли они на сферической поверхности или на
эвклидовой плоскости; небольшой участок сферической поверхности очень
мало отличается от участка части плоскости такой же величины.
585.
О специальной и общей теории относительности
1917 г.
Таким образом, если сферически-поверхностные существа обитают на планете,
солнечная система которой составляет лишь ничтожно малую часть
сферического мира, то они не могли бы решить, живут ли они в конечном или
бесконечном мире, поскольку часть мира, доступная их опыту, в обоих
случаях является практически плоской, т. е. эвклидовой. Непосредственно
видно, что для обитающих на сфере существ длина окружности сначала
возрастает с радиусом до "окружности мира" и затем, при дальнейшем
возрастании радиуса, постепенно уменьшается до нуля. При этом площадь
круга постоянно возрастает, пока она наконец не станет равной полной
площади всего сферического мира.
Читатель, быть может, удивится тому, что мы поместили наши существа
именно на сферу, а не на какую-либо иную замкнутую поверхность. Но это
имеет свое оправдание, поскольку сфера отличается от всех других
замкнутых поверхностей тем свойством, что все ее точки равноценны.
Отношение длины окружности и к своему радиусу г хотя и зависит от г, но
при данном г оно одинаково для всех точек сферического мира; иными
словами, этот мир-сфера есть "поверхность постоянной кривизны".
Имеется трехмерный аналог двумерного сферического мира, а именно:
трехмерное сферическое пространство, открытое Риманом. Все его точки
также равноценны. Оно обладает конечным объемом, который определяется его
"радиусом" Л и равен 2л2Л3. Можно ли представить себе сферическое
пространство? Представить себе какое-либо пространство означает не что
иное, как представить себе сущность "пространственных" опытов, т. е.
опытов, которые можно производить при движении "твердых" тел. В этом
смысле сферическое пространство можно себе представить.
Пусть из некоторой точки проведены прямые (или натянуты шнуры) во всех
направлениях и на каждой из них отложена при помощи масштаба длина г. Все
свободные концы этих отрезков лежат на сфере. Эту поверхность Л мы можем
измерить масштабным квадратом. Для эвклидова мира F = 4лг2; если же мир
сферический, то F всегда меньше 4лг2. С возрастанием г площадь
поверхности F растет от нуля до некоторого максимума, определяемого
"радиусом мира", а при дальнейшем возрастании г величина F снова
постепенно уменьшается до нуля. Выходящие из начальной точки радиальные
прямые сначала все более удаляются друг от друга, а затем снова
сближаются и в конце концов вновь сходятся в точке, "противолежащей"
начальной точке; таким образом, они промеряют все сферическое
пространство. Легко убедиться, что трехмерное сферическое про-етранство
вполне аналогично двумерному (поверхности сферы). Оно конечно (т. е.
имеет конечный объем), но не имеет границ.
Заметим, что существует еще одна разновидность сферического пространства,
а именно, "эллиптическое пространство". Его можно представить себе как
сферическое пространство, в котором "противолежащие
586
43
О специальной и общей теории относительности
точки" совпадают. Таким образом, эллиптический мир можно рассматривать до
некоторой степени как центрально-симметричный сферический мир.
Из сказанного следует, что мыслимы замкнутые пространства, не имеющие
границ. Среди них выделяется своей простотой сферическое (и
соответственно, эллиптическое) пространство, все точки которого
равноценны. Отсюда перед астрономами и физиками возникает чрезвычайно
интересный вопрос: является ли мир, в котором мы живем, бесконечным или
же он, подобно сферическому миру, конечен? Наш опыт далеко не достаточен
для ответа на этот вопрос Однако общая теория относительности дает
возможность ответить на этот вопрос со значительной достоверностью; при
