Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
- Ред.
2 Четыре статьи Г. А. Лоренца в "Publicationen d. Konigl. Akad. van
Wetensch. te Amsterdam", за 1915 и 1916 годы; D. H i 1 b e r t. Gott.
Nadir., 1915, H. 3.
3 Вначале мы не используем тензорный характер g
Г"24
42
Принцип Гамильтона и общая теория относительности
Пусть далее ф есть функция от
"[xv pW - gv-v (~ q а q (-
ё I дхаГ ёох{ dxadxj ' Y(p)"V 9(r)я/*
В таком случае вариационный принцип
ф dx\ = 0 (1)
дает столько дифференциальных уравнений, сколько имеется подлежащих
определению функций g^ и g(P), если только мы при этом установим, что g^v
и g(p) должны варьироваться независимо друг от друга и так, чтобы
на границах интегрирования все бд(р), бg^v и обращались в нуль.
dxQ
Допустим теперь, что функция ф по отношению ко всем линейна и притом
такова, что коэффициенты при gat зависят только от g^v. В таком случае
вариационный принцип (1) можно заменить другим, более удобным для нас
вариационным принципом. Интегрируя по частям, получаем
' §dx = [&dx + F, (2)
где F - некоторый интеграл, взятый по границе рассматриваемой
области, а величина ф* зависит только от g^v, g?v, g(P), ^p>a,
но не зависит
больше от gax-
Из равенства (2) для интересующих нас вариаций получаем
e{U*} = 6{U-dt}; (3)
поэтому мы в праве заменить вариациоцный принцип (1) следующим более
удобным:
ф*о?т[ = 0. (1а)
Выполнив вариации по g^ и g(p), получим следующие уравнения гра-
витационного поля 4 и материи:
4 Ради краткости в формулах пропущен знак суммы 2. Необходимо всегда
иметь в виду, что суммирование выполняется по тем индексам, которые
встречаются дваж-
д (д& \
ды в том или ином члене. Следовательно, в уравнении (4), например, ^ J
^ д /дф \
означает N -------1-----1
2
525
Принцип Гамильтона и общая теория относительности
1916 г.
[dg^J dg^
WP)J а?(р)
§ 2. Независимое существование гравитационного поля
Если не делать никаких специальных допущений о том, каким образом ф
зависит от g^v, g?v, ga-r? g(p), g(p)a, то нельзя разделить компоненты
энергии на две части, из которых одна относится к
гравитационному
полю, а другая - к материи. Чтобы теория допускала подобное
деление,
мы принимаем, что
? = & + 59?, (6)
где & зависит только от g^v, g?v, gor, а 59? - только от g^v, д(р),
g(P)a. Тогда уравнения (4) и (5) принимают вид
д /д(r)* \ _ д&_ = аэл ,
дха UffSV dslxv '
d f dWl\ dwi = 0> (8)
dxa \d(l(P) J d(I(P)
При этом @* связано с @ также, как ф* с ф. Однако следует заметить, что
уравнения (8) и (5) пришлось бы заменить другими, если бы мы приняли, что
59? и соответственно ф зависят не только от первых, но и от высших
производных от q(p). Равным образом возможно, что g(P) следовало бы
рассматривать не независимыми друг от друга, но как величины, связанные
друг с другом некоторыми условиями. Все это не имеет значения для
дальнейшего изложения, так как последнее основано исключительно на
уравнениях (7), которые получены посредством варьирования интеграла по
g^v.
§ 3. Свойства уравнений гравитационного поля, вытекающие из теории
инвариантов
Введем теперь допущение, что
ds2 = V dxv-(9) представляет собой инвариант. Тем самым установлен
характер преоб-526
42
Принцип Гамильтона и общая теория относительности
разования g^. О характере преобразования величин д(р), описывающих
материю, мы не делаем никаких допущений. Напротив, пусть функции
H = -JL=, G = -$=hM =
V-g' ' V-g V-g
будут инвариантами по отношению к любым преобразованиям пространственно-
временных координат. Из этих предпосылок вытекает общая ковариантность
уравнений (7) и (8), выведенных из (1). Далее следует, что G (с точностью
до постоянного множителя) должно равняться скаляру римановского тензора
кривизны, ибо другого инварианта со свойствами, которыми должен обладать
G, не существует 5.
Тем самым вполне определены &* и вместе с ним левая часть уравнения поля
(7) 6.
Из общего принципа относительности вытекают определенные свойства функции
@*, которые мы теперь и выведем. С этой целью произведем бесконечно малое
преобразование координат, полагая
х' = х" + Axv; (10)
здесь Axv представляют собой любые бесконечно малые функции координат, х"
- координаты мировой точки в новой системе, xv - координаты той же точки
в старой системе. Как для координат, так и для всякой другой величины ф
справедлив закон преобразования вида
ф' == ф -f- Аф,
причем Аф всегда может быть выражено через Axv. Из ковариантных свойств
g^v легко выводятся законы преобразования для g^v и g?v-'
ЭДг дДг
= + (и>
cl а
(">
а а
Так как зависит только от g^v и g?v, то, пользуясь соотношениями
5 Этим объясняется, почему требования общей теории относительности
приводят-к вполне определенной теории тяготения.
6 Интегрируя по частям, получаем
52Т
Принцип Гамильтона и общая теория относительности
1961 г.
(13) и (14), можно вычислить А@*. Таким образом, получается
(13)
:где
(14)
Из этих двух уравнений мы выводим два следствия, которые будут
ля (r)
важны для дальнейшего. Мы знаем, что ^ инвариантно по отношению
