Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
2
1 ~ Р ds ds ' V '
2 Здесь Эйнштейн допускает ошибку, которую он исправил в работе 49.-
Прим. ред.
517
Интегрирование уравнений гравитационного поля
1916 г.
если принять во внимание, что в первом приближении ковариантный тензор
энергии может быть заменен контравариантным. Скаляр представляет собой
(естественно измеренную) плотность массы. Из равенств (9) и (12) следует,
что все величины обращаются в нуль, за исключением величины т44 > для
которой получается
Отсюда с помощью уравнений (8) и (1) для величин получаем значения
- 1 -ООО
4я г
О О О
4я г
О 0 -1 -О (14)
4я г
ООО __1_ *
4я г
Эти значения, отличающиеся от полученных нами ранее только в силу выбора
системы отсчета, были сообщены мне в письме де Ситтером. Они и натолкнули
меня на вышеприведенное простое приближенное решение. Следует, однако,
иметь в виду, что использованный здесь выбор координат неприменим в общем
случае, поскольку величины и у обладают тензорным характером не
относительно произвольных, а только относительно линейных ортогональных
преобразований.
§ 2. Плоские гравитационные волны
Из уравнений (6) и (9) следует, что гравитационные поля всегда
распространяются со скоростью 1, т. е. со скоростью света. Плоские
гравитационные волны, бегущие в положительном направлении оси х, следует
поэтому искать в виде:
V, = / (zi + ixt) = a - t). (15)
Здесь - постоянные, a / - функция аргумента х-t. Если рассматриваемое
пространство свободно от материи, т. е. тензор Т^ обращается в нуль, то
эта формула удовлетворяет уравнению (6). Уравнения (4) дают
518
41
Интегрирование уравнений гравитационного поля
следующие соотношения между постоянными а^:
<*11 + ?<*14 - О?
<*12 Н- ^'<*24 - О?
<*13 "Ь ?<*34 - ^ 5 <Xi4 -j- ?<ЗС44 = 0.
(16)
Таким образом, из 10 постоянных свободно выбираемыми являются только
шесть. Следовательно, волна наиболее общего вида может быть получена
путем суперпозиции волн следующих шести типов:
0С44 -|- ?0С44 = 0 б) С?42 + ?<*24 == 0 Г) (*22 ::Ф: 0
Эти формулы следует понимать так, что не приведенные здесь для каждого
типа волн постоянные равны нулю; т. е. в типе "а" отличны от нуля только
величины an,a14, a44 и т. д. По свойствам симметрии тип "а" соответствует
продольным волнам, типы "б" и "в" - поперечным волнам, а типы "г", "д",
"е" имеют характер симметрии нового вида. Типы "б" и "в" отличаются в
сущности друг от друга только их ориентацией относительно осей у и 2, так
же как и типы "г", "д", "е" между собой, так что по сути дела существует
три совершенно различных типа волн.
Нас в первую очередь интересует переносимая этими волнами энер-
I
гия, измеряемая потоком энергии $х = - г41. Для различных типов волн этот
поток получается из выражения (11):
(17)
2
а) у ^41 = ^ (<*11 + <*14 + <*41 + <*44) = 0,
2
б) у ^41 = (<*12 + <*2l) - 0?
В) у ^41 - (<*13 + <*34) Т 0?
519
Интегрирование уравнений гравитационного поля
1916 г.
Таким образом, получается, что энергию переносят только волны последнего
типа; при этом энергия, переносимая некоторой плоской волной, равна
1
41
1
4х
дТ22
dt
+ 2
дТ2з
dt
+
дЬз_
dt
(18)
§ 3. Потери анергии системой тел путем излучения гравитационных волн
Пусть система, излучение которой должно быть исследовано, на протяжении
длительного времени находится в окрестности начала координат. Рассмотрим
создавлемое системой гравитационное поле в точке, расстояние R которой от
начала координат велико по сравнению с размерами системы. Пусть точка
наблюдения расположена на положительной оси х, т. е. пусть
Xj = R, х2 = х3 - 0.
Вопрос заключается в том, существуют ли в точке наблюдения волны,
распространяющиеся в положительном направлении по оси х и переносящие
энергию. Рассуждения § 2 показывают, что такое излучение может быть
обусловлено в точке наблюдения только компонентами у' , х23, Тзз'.
Следовательно, нужно вычислить только их. Из уравнения (9) получаем:
х Г Т.Л2 (я?о, Уо, 2о, t - г)
22 2rt ) г dV0'
Если система имеет малые размеры, а компоненты энергии ее меняются не
очень быстро, то при интегрировании можно без особой ошибки заменить
аргумент t - г постоянной величиной t - R. Заменяя, кроме 1 1
того, величину - постоянной получаем удовлетворительное в большинстве
случаев приближенное выражение
^ = <19>
причем интегрирование следует понимать в обычном смысле, т. е. при
постоянном значении времени. Используя уравнение (7), можно привести это
выражение к виду, более удобному для расчетов материальных
620
41
Интегрирование уравнений гравитационного поля"
систем. Из соотношения
дТи ¦ дТ 22 ¦ дТул I дТ21 q
дх\ "Т" dx<i "Т" дхз ' dxi
после умножения на координату х2 и интегрирования по всей системе,,
получаем для интеграла от второго члена выражение
- ^ Т22dV -(- ^ Т24х2 dV j = 0. (20)-
Далее, из соотношения
дТп ¦ dTi2 I ОТ 4з , ОТ и_
дх\ 0x2 Охз дх4
после умножения на величину х\/2 аналогичным образом получаем
-^TMxzdV+ -^(^Tu^dv) = 0. (21>
Из выражений (20) и (21) следует
