Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
"первым приближением" следует понимать то, что величины y^v, определяемые
равенством
g\i.V - -f* Y&XV
и обладающие тензорным характером относительно линейных ортогональных
преобразований, считаются малыми по сравнению с единицей, так что их
квадратами и более высокими степенями можно пренебречь по сравнению с
первой степенью. При этом
-- 1> если р = v, и 6p.v - 0, если \i=j=v.
Мы покажем, что эти величины могут быть вычислены тем же способом, что и
запаздывающий потенциал в электродинамике. Отсюда прежде всего следует,
что гравитационные поля распространяются со скоростью света. В связи с
этим общим заключением мы исследуем гравитационные волны и механизм их
возникновения. Оказывается, что предложенный мной выбор системы отсчета,
соответствующий условию g = j g^v | = = -1,для вычисления полей в первом
приближении неудобен. Я обратил на это внимание благодаря письменному
сообщению астронома де Сит-тера, который нашел, что при ином выборе
системы отсчета можно получить для гравитационного поля покоящейся
точечной массы выражение более простое, чем полученное мною ранее1.
Поэтому ниже я буду исходить из общековариантных уравнений поля.
* Naherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation.
Sitzungsber.
preuss. Akad. Wiss., 1916, 1, 688-696.
1 Sitzungsber preuss. Akad. Wiss., 1915, 47, 2, 831 (статья 36).
514
41
Интегрирование уравнений гравитационного поля
§ 1. Интегрирование приближенных уравнений гравитационного поля
Уравнения поля в их ковариантной форме имеют вид:
1
a ccj3
? _ д log Vg ^ fpv) д log Yg
1XV дх^дх^ Zi \ a J dxa
При этом фигурные скобки означают известные символы Кристоффеля, T'p.v -
ковариантный тензор энергии материи, Т - его скаляр. Уравнение (1) в
интересующем нас приближении дает путем непосредственного разложения в
ряд следующее уравнение:
°%а | d2Tva " д2Т>у д2 \_
dxvdxa J дх^дха 2л дх2а д^дхч l^JTaaj
= - 2к(Т^ - ^ • (2)
Здесь последний член в левой части получается из величины которая
исчезает при предложенном мною выборе координат. Уравнение (2) можно
решить, сделав подстановку
Тр-v - Tp-v "Ь Ф , (2)
где величина удовлетворяет дополнительному условию
2% = 0. (4)
V V
Подставляя выражение (3) для у^ в уравнение (2), получаем для левой части
уравнения выражение:
д* (SJ____________________\ ( 0 а2Ф х V Э2Ф /,___________________-
^ дх2 К8** ^2jT"aj+Z dx^dxv Zl дя2 4 дх^дх^ •
Второй, третий и пятый члены обращаются в нуль, если величину ф выбрать
согласно уравнению
SrM + 2il) = 0, (5)
33*
515
Интегрирование уравнений гравитационного поля
1916 г.
что мы и сделаем. Принимая это во внимание, вместо уравнения (2) получаем
2 ?г (V. - 4 V 2 Ь.) = 2х (7V - i 6,v 2
а " а а
ИЛИ
2'^ T^v = (б)
а а
Здесь следует заметить, что уравнение (6) согласуется с уравнением (4).
Легко доказать, что при требуемой нами точности закон сохранения энергии-
импульса для материи выражается уравнением:
2^ = °- <7>
V
Если к уравнению (6) применить оператор то обращается в нуль
не только левая часть уравнения (6) в силу условия (4), но и правая часть
в силу уравнения (7), как это и должно быть. Заметим, что из равенств (3)
и (5) получаются уравнения:
V = V -Т"", (8)
а
V= V _-1б^2Таа. (8а)
а
Поскольку величины T^v могут быть вычислены в виде запаздывающего
потенциала, наша задача решена. Получаем
v--^r^("yro',~r> ^ <9>
При этом величины х, у, 2, t - вещественные координаты xv х.2,
х3, у;
без индекса они означают координаты точки наблюдения, а с
индексом
"О" - координаты элемента интегрирования. Величина dV0 представляет собой
трехмерный элемент объема пространства интегрирования, величина г -
пространственное расстояние, У (х - х0)2 + (у - у0)2 + (z--z0)2.
Для дальнейшего нам понадобятся компоненты энергии гравитационного поля.
Проще всего их можно получить из уравнения (6). Умножая
д'Г v
производную в левой части на -я-~- и суммируя по индексам ц и v, после
ОХа
516
41
Интегрирование уравнений гравитационного поля
простых преобразований в левой части мы получаем
д
дх"
dy^v ду
дх" дх"
S
ду
дхг
Выражение в квадратных скобках представляет собой, очевидно, с точностью
до постоянного множителя компоненту энергии гаа; множитель же легко
определить путем вычисления правой части. Точный закон сохранения
энергии-импульса материи имеет вид:
д V-gT\
дх"
о.
о и pa V-
С нужной нам степенью точности можно записать
2-(r)v
дх"
дх..
тРО = 0.
(7а)
Это выражение и представляет собой уточненное на одну степень уравнение
(7). Отсюда следует, что правая часть уравнения (6) после вышеуказанного
преобразования принимает вид
-4к2^г-
Таким образом, закон сохранения гласит:
хл д(т
ixv "Т дх..
0,
причем величины
_1_ 4 х
2
L <х|3
дх.. дх.,
а/Зт
\ дХ1
(10)
(И)
представляют собой компоненты энергии гравитационного поля.
В качестве примера простейшего приложения вычислим гравитационное поле
покоящейся в начале координат материальной точки с массой М. Тензор
энергии материи при пренебрежении поверхностным силами будет:
