Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
которой дается симметричным тензором 2-го ранга, тензором энергии.
Поэтому и в общую теорию относительности придется ввести
(51)
18"
Основы общей теории относительности
1916 г.
некоторый тензор% энергии материи Тла, имеющий смешанный характер, как и
компоненты t* [уравнения (49) и (50)] гравитационного поля, но в то же
время соответствующий симметричному ковариантному тензору14.
Система уравнений (51) показывает, как ввести этот тензор энергии
(соответствующий плотности р в уравнении Пуассона) в уравнения
гравитационного поля. Если рассматривать замкнутую систему (например,
Солнечную систему), то общая масса системы и, следовательно, ее общее
гравитирующее действие будут зависеть от всей энергии системы, т. е. от
совокупности энергии весомой материи и энергии поля тяготения. Это можно
выразить тем, что в уравнениях (51) вместо одних только компонент энергии
гравитационного поля мы подставим сумму + Т° компонент тензора энергии
материи и гравитационного поля. Таким образом, вместо (51) получается
тензорное уравнение
д
1
дХя (g'Wh) = - *[Й + П) - -гК(< + Т) = 1,
(52)
где Т - (скаляр Лауэ). Это и есть искомые общие уравнения гравитационного
поля в смешанной форме. Отсюда обратно вместо (47) получается система
уравнений
ага
А [XV
ryt = -x(?V.-TsWr).
дха • - V *¦' / . | (53)
/=1 = 1.
Нужно признать, что указанное введение тензора энергии материи не может
быть обосновано одним только постулатом относительности; поэтому выше мы
исходили из требования, что энергия гравитационного поля должна
действовать в смысле тяготения точно так же, как всякая энергия другого
рода. Но самым сильным аргументом в пользу указанных уравнений является
то, что из них следуют уравнения сохранения импульса и энергии для
компонент полной энергии, в точности соответствующие уравнениям (49) и
(49а). Это будет доказано ниже.
§ 17. Законы сохранения в общем случае
Уравнение (52) нетрудно преобразовать так, чтобы второй член в правой
части обратился в нуль. Для этого следует произвести свертку по индексам
ц и а и вычесть полученное таким образом уравнение, пред-
14 &ат^я = ^ат и S^T'a ~ должны быть симметричными тензорами.
490
38
Основы общей теории относительности
варительно умноженное на из уравнения (52). Тогда получается
дх"
- 4- = - х (<' + ri).
(52 а)
Применяя к этому уравнению операцию -, получаем
да
дх" дх,
1
2 дх" дх"
дх, аЗ
cte
iix _l
dxi, дх\
Первый и третий члены в круглых скобках приводят ко взаимно
уничтожающимся слагаемым, в чем легко убедиться, если в третьем члене
переставить, с одной стороны, индексы суммирования а и а и, с другой
стороны, индексы р и X. Второй член можно преобразовать согласно (31),
так что имеем
82 = - dV$____________________
дх^дх^ ^ 2 дхл дхр дх^
Второй член в левой части (52а) сначала дает
1 д2
(54)
(gxfTpa),
или
4 дхадх^
2 дхадх^
' ° I дха ' дх
Член, получающийся от последнего члена в круглых скобках, обращается в
нуль при сделанном нами выборе координат в силу (29). Два других члена
можно объединить; тогда на основании соотношений (31) получим
2 дха дхр дх[х '
так что, принимая во внимание равенство (54), получаем тождество
82 Vr"p-4s^T"J = o.
дха дха
Из (55) и (52а) следует
(55)
0.
(56)
Таким образом, из наших уравнений гравитационного поля следует, что
законы сохранения импульса и энергии выполняются. В этом проще
491
Основы общей теории относительности
1916 г"
всего убедиться при помощи рассуждения, которое ведет к уравнению (49а);
нужно тблько вместо компонент энергии t? гравитационного поля ввести
компоненты полной энергии материи и гравитационного поля.
§ 18. Закон сохранения импульса и энергии для материи как следствие
уравнений поля
Умножая уравнение (53) на , пользуясь приемом, примененным
в § 15, и принимая во внимание, что g равно нулю, получаем урав-
p<v (72/_
нение: 0
дИт =0
дх" 2 дх" U'
или, в силу равенства (56),
дТ*
+4-??тг=0- (57>
дха 2
Сравнение с (416) показывает, что это уравнение при сделанном выборе
координатной системы выражает не что иное, как обращение в нуль
дивергенции тензора энергии материи. Наличие второго члена в левой части
с физической точки зрения означает, что для одной лишь материи законы
сохранения импульса и энергии в их подлинном смысле не выполняются;
точнее говоря, они выполняются лишь тогда, когда постоянны, т. е. когда
компоненты напряженности гравитационного поля равны нулю. Этот второй
член представляет собой выражение для импульса, и, соответственно, для
энергии, которые в единицу времени и в единице объема передаются материи
от гравитационного поля. Все это становится еще более ясным, если вместо
(57) записать в духе соотношения (41):
дТ* о "
<ЧГ = -Г°"7'р- <57а)
Правая часть этого уравнения выражает энергетическое воздействие
гравитационного поля на материю.
Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат четыре условия,
которым должны удовлетворять материальные процессы. Эти
+"2
Основы общей теории относительности
