Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 177

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 263 >> Следующая

это условие заведомо требует слишком многого. В самом деле,
гравитационное поле, создаваемое, например, материальной точкой, во
всяком случае не может быть никаким выбором координатной системы
"оттрансформировано", т. е. не может быть преобразовано к случаю
постоянных
Поэтому представляется естественным требование, чтобы в свободном от
материи гравитационном поле обращался в нуль симметричный тензор
полученный из тензора Таким способом получаются 10 уравнений для 10
величин g^, которые выполняются в том частном случае, когда все В^от
равны нулю. Эти уравнения для свободного от материи поля, в силу (44),
при сделанном выборе координатной системы имеют вид
Следует отметить, что с выбором этих уравнений связан минимум произвола.
Ведь, кроме B^v, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен
из и их производных, не содержал бы производных более высокого порядка,
чем второго, и был бы линейным относительно последних и.
Тот факт, что эти уравнения, вытекающие из общего принципа
относительности чисто математическим путем, в соединении с уравнениями
движения (46) дают в первом приближении ньютоновский закон тяготения, а
во втором приближении - объяснение открытого Леверье движения перигелия
Меркурия (остающегося после внесения поправок на возмущение), должен, по
нашему мнению, убедить в физической правильности теории.
11 Собственно говоря, это можно утверждать только о тензоре В
где % - константа. Однако, приравняв его нулю, мы снова возвращаемся к
уравнениям: = 0.
(47)
486
Основы общей теории относительности
§ 15. Функция Гамильтона для гравитационного ноля. Закон сохранения
импульса и энергии
Чтобы показать соответствие уравнений поля законам сохранения импульса н
энергии, удобнее всего написать их в следующей гамильтоновой форме:
б\\Hdx [= О,
(47а)
Н = g
V=g= i.
При этом на границах рассматриваемой ограниченной четырехмерной области
интегрирования вариации равны нулю.
Прежде всего, необходимо показать, что уравнения (47а) эквивалентны
уравнениям (47). Для этой цели рассмотрим Н как функцию от gv-v и
Но
Сначала запишем
бя = гьЛб/* + 2/т;эбг5. = - г;3г5.(
+2г> (гге").
"(/те.)=-^6
gl>.vg[S\
>аХ
дх.,
Выражения, получающиеся из двух последних членов в круглых скобках, имеют
разные знаки и получаются друг из друга путем перестановки индексов |т и
|3 (так как обозначение индексов суммирования не имеет значения). В
выражении для бН они взаимно уничтожаются,, будучи умножены на величину
Г"р, симметричную относительно индексов ц и (3. Таким образом, следует
учесть лишь первый член в круглых скобках, так что, принимая во внимание
равенства (31), получаем
6 я = -
Таким образом, имеем
дН
dg^ дН го
¦pa -pfj ' -I va i
(48)
Выполнив вариации в (47а), получим сначала систему уравнений
д (дН \ дН Л
Основы общей теории относительности
1916 г.
которая, в силу уравнений (48), совпадает с (47), что и требовалось до-
причем, на основании уравнений (48), второго уравнения (47) и формулы
(34), должно выполняться соотношение
Следует помнить, что t% не является тензором; уравнение же (49)
справедливо для всех координатных систем, для которых У- g = 1. Это
уравнение выражает законы сохранения импульса и энергии для
гравитационного поля. В самом деле, интегрирование этого уравнения по
трехмерному объему V дает четыре уравнения:
где а15 а2, а3 - направляющие косинусы внутренней нормали к элементу
граничной поверхности dS (в смысле эвклидовой геометрии). В этом
соотношении, как нетрудно видеть, содержатся оба закона сохранения в их
обычной форме записи. Мы назовем величины "компонентами энергии" 13
гравитационного поля.
12 Причина введения множителя - 2к выяснится позже.
получаем уравнение
или 12
(49)
(50)
(49а)
13 Их называют теперь компонентами псевдотензора энергии-импульса.- Прим.
ред.
488
38
Основы общей теории относительности
Представим теперь уравнения (47) еще в одной форме, особенно полезной для
наглядного усвоения рассматриваемого вопроса. Посредством умножения
уравнений поля (47) на gvo эти уравнения получаются в "смешанном" виде.
Нужно принять во внимание, что
gyg - JL (д^Га ) - 1Г-Га
S дха ~ дха W a. lxv'
Эта величина, на основании (34), равна
?г - g*njb.,
ос
или (после изменения обозначения индексов суммирования)
4 (g°prjs) - g""TSA - r>rjPit.
Третий член этого выражения взаимно уничтожается с членом, получающимся
из второго члена уравнений поля (47); вместо второго члена этого
выражения можно, пользуясь соотношением (50), подставить
где t = t*. Итак, вместо уравнений (47) получается
у=1? = 1.
§ 16. Уравнения гравитационного ноля в общем виде
Уравнения поля для свободного от материи пространства, выведенные-в
предыдущем параграфе, нужно сравнить с уравнением поля
Дф = 0
теории Ньютона. Мы должны найти уравнение, которое соответствует-
уравнению Пуассона
Дф = 4якр,
где р - плотность материи.
Специальная теория относительности привела к тому выводу, что инертная
масса есть не что иное, как энергия, полное математической выражение
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed