Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 +1
Мы увидим ниже, что выбор таких координат для конечных областей в общем
случае невозможен.
461
Основы общей теории относительности
1916 г.
Из рассуждений § 2 и 3 следует, что величины g0T с физической точки
зрения должны рассматриваться как величины, описывающие гравитационное
поле относительно выбранной системы координат. В самом деле, допустим
сначала, что специальная теория относительности справедлива для
определенной рассматриваемой четырехмерной области при подходящем выборе
системы координат. Тогда величины g0T имеют указанные в (4) значения. В
этом случае свободная материальная точка движется относительно этой
системы прямолинейно и равномерно. Если теперь ввести путем произвольного
преобразования новые пространственно-временные координаты #j, ..., ж4, то
в этой новой системе величины gar будут уже не постоянными, но функциями,
пространственно-временных координат. В то же время движение свободной
материальной точки в новой системе окажется криволинейным и
неравномерным, причем закон движения не будет зависеть от природы
движущейся материальной точки. Поэтому мы будем истолковывать это
движение как движение, происходящее под влиянием гравитационного поля. Мы
видим, что появление гравитационного поля связано с зависимостью g^ от
пространственно-временных координат. Но и в общем случае, когда мы не
сможем соответствующим выбором координат сделать специальную теорию
относительности применимой в конечной области пространства, мы сохраним
представление о том, что величины g3T описывают гравитационные поля.
Таким образом, согласно общей теории относительности, гравитационные силы
играют исключительную роль по сравнению с остальными силами, особенно,
электромагнитными; 10 функций gar, представляющих гравитационное поле,
определяют в то же время метрические свойства четырехмерного
пространства.
В. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ВЫВОДА ОБЩЕКОВАРИАИТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Показав выше, что общий постулат относительности приводит к требованию
ковариантности систем уравнений физики по отношению к любым
преобразованиям координат х1, ..., ж4, мы должны теперь подумать над тем,
как можно получить подобные общековариантные уравнения. Обратимся теперь
к этой чисто математической задаче; при этом выяснится, что заданный
равенством (3) инвариант ds, названный нами в соответствии с гауссовской
теорией поверхностей "линейным элементом", играет основную роль при
решении этой задачи.
Основная мысль этой общей теории ковариантных величин заключается в
следующем. Пусть некоторые объекты ("тензоры") определены относительно
координатной системы посредством некоторого числа простран-
4 62
38
Основы общей теории относительности
ственных функций, которые называются "компонентами" тензора. Тогда
имеются определенные правила, по которым эти компоненты вычисляются для
новой координатной системы, если они известны для первоначальной системы
и если известно преобразование, связывающее обе системы. Эти объекты,
названные ниже тензорами, характеризуются еще и тем, что уравнения
преобразования для их компонент линейны и однородны. Поэтому все
компоненты в новой системе обращаются в нуль, если они все равны нулю в
первоначальной системе. В соответствии с этим, если какой-нибудь закон
природы формулируется как равенство нулю всех компонент некоторого
тензора, то он общековариантен; исследуя законы образования тензоров, мы
тем самым получаем средство для установления общековариантных законов.
§ 5. Контраварйантный и ковариантный четырехмерный вектор
Контраварйантный четырехмерный вектор (4-вектор). Линейный элемент
определяется с помощью четырех "компонент" dx.,, закон преобразования
которых имеет вид:
dx'a='2l-tordx'" (5)
V V
Величины dxa выражаются линейно и однородно через dxv; поэтому мы можем
рассматривать эти дифференциалы координат как компоненты "тензора",
которому дадим специальное название контравариантного 4-вектора. Каждый
объект, определяемый по отношению к координатной системе посредством
четырех величин Av, которые преобразуются по тому же закону
А' = '2&Л'. (5а)
V v
мы также называем контравариантным 4-вектором. Из соотношения (5а)
непосредственно следует, что суммы (Аа + Ва) будут компонентами 4-
вектора, если Аа и Ва в отдельности являются таковыми. Аналогичное
положение возникает для всех систем, введенных ниже в качестве "тензоров"
(правило сложения и вычитания тензоров).
Ковариантный четырехмерный вектор. Мы называем четыре величины Av
компонентами ковариантного 4-вектора, если для любого произвольно
выбранного контравариантного 4-вектора Bv:
2 AVBV = инвариант. (6)
4"3
Основы общей теории относительности
1916 г.
Из этого определения следует закон преобразования ковариантного 4-
вектора. Заменив в правой части равенства
Но отсюда, в силу того, что в этом равенстве каждый из 4-векторов Ва'
может быть выбран произвольно и независимо от других, следует закон
