Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
оправдано в особенности благодаря симметрии относительно их обоих значков
ковариантного характера (здесь v и о) и благодаря тому, что они же входят
в фундаментальное уравнение геодезической линии (236) цит. соч., которое
с физической точки зрения представляет собой уравнение движения
материальной точки в гравитационном поле. Виц уравнения (14) также не
противоречит этому, так как первый член его" правой части можно привести
к виду
Поэтому в дальнейшем мы будем считать компонентами гравитацион-ного поля
величины
Если обозначить через Т1 тензор энергии всей "материальной" системы, то
Kv обращается в нуль; закон сохранения (14) в этом случае принимает вид:
Заметим, что уравнения движения материальной точки (236) цит. соч.
принимают вид:
2. В рассуждениях §§ 10 и 11 цитированной работы ничего не меняется, и
лишь величины, называвшиеся там F-скалярами и F-тензорами, имеют теперь
характер обычных скаляров или тензоров.
(14а>
,т dxv dxv ^ ds ds '
(15>
480
34
К общей теории относительности
§ 3. Уравнения гравитационного ноля
Только что сказанное наводит на мысль придать уравнениям гравитационного
поля вид
R^= - xT^, (16)
поскольку мы уже знаем, что эти уравнения ковариантны относительно
произвольных преобразований с определителем 1. Действительно, эти
уравнения удовлетворяют всем требованиям, которые мы должны к ним
предъявлять. В более подробной записи они в соответствии с формулами
(13а) и (15) имеют вид
9Га
2 ~дх^ 2^*(3^v<x = - (16а)
а а а(3
Покажем теперь, что эти уравнения поля можно привести к гамильтоновой
форме:
б (й - И 2 p.v) eft} = О, av
(17)
2=2
ота|3
причем g^v следует варьировать, а тензор Т^ рассматривать как постоянный.
Именно соотношение (17) равносильно уравнениям
|,8>
ds
причем ? следует считать функцией g^v и = g^v.
С другой стороны, путем длинных, хотя и несложных, выкладок получаем
соотношения
^ = -Sr^r?a, (19)
- = Г" (19а)
<v *
Вместе с уравнениями (18) эти соотношения дают в результате уравнения
поля (16а).
431
К общей теории относительности
1915 г.
Теперь легко также показать, что выполняется закон сохранения энергии и
импульса. Умножая уравнения (18) на и суммируя по значкам ц и v, после
несложных преобразований получаем
a(xv a \ °а ¦ a (xv
LAdx, 2 ZJ дх" ^
Л Л (xv 0
С другой стороны, согласно уравнению (14), полный тензор энергии-материи
равен
д4-т,
Из последних уравнений следует
д_ дх
причем
+ 0, (20)
(20а)
означает "тензор энергии" гравитационного поля, который, впрочем,
является тензором лишь по отношению к линейным преобразованиям. Из
соотношений (20а) и (19а) после простого преобразования получаем
ta = 4б" 2 гг - 2 (206)
(xva(3 (xva
Наконец, представляет еще интерес вывести два скалярных уравнения,
которые получаются из уравнений поля. Умножая уравнение (16а) на g^ и
суммируя по ц и v, после простых преобразований получаем
2^~ 2 ^^ + 24(^^|р) = -х2г;. <21,
а,8 * Э врат <хр 4 Р ' а
С другой стороны, умножая (16а) на gvX и суммируя по v, находим
24г te'T.) - 2 в* Т'А = -
av a a0v
или, принимая во внимание (206),
244(ггЛГУ-4^ 2 ^т;эге.=-ч(Г^ + ^).
дх
4 [xvaf
4:32
34
К общей теории относительности
Отсюда с учетом соотношений (20) после простого преобразования следует
уравнение
0. (22)
_д
дх,
<х(3 а р ата/3
Однако мы требуем несколько большего:
- дхдХг, а/3 а Р ата/3
(22а)
так что уравнение (21) принимает вид
2a-fH^Ei) = -''2n (21а)
в0 0ха v Э ' о
Из уравнения (21а) следует, что невозможно выбрать систему координат так,
чтобы величина V - g всюду стала равной 1, поскольку тогда след тензора
энергии не может быть обращен в нуль.
Уравнение (22а) является соотношением, которому подчиняются только и
которое уже не должно оставаться справедливым в новой системе координат,
получающейся из первоначальной системы координат путем применения
неразрешенного преобразования. Следовательно, это уравнение указывает,
как должна быть подобрана система координат для рассматриваемого
многообразия.
§ 4. Некоторые замечания о физических следствиях теории
Уравнение (22а) в первом приближении дает
a/3 dxadxd
= 0.
Это еще не определяет координатную систему: для ее определения необходимо
еще задать 4 уравнения. Поэтому мы можем в первом приближении положить
произвольно
2^ = 0. (226)
/3 0ХР
Далее, для упрощения изложения введем мнимое время в качестве четвертой
переменной. Тогда уравнения поля (16а) в первом приближении
28 а. Эйнштейн, том I 433
К общей теории относительности
1915 г.
принимают вид
Отсюда нетрудно видеть, что они содержат в качестве приближения закон
тяготения Ньютона.
Относительность движения в новой теории обеспечена тем, что среди
разрешенных преобразований имеются как такие преобразования, которые
соответствуют вращению новой системы относительно старой с произвольно
меняющейся угловой скоростью, так и такие, при которых начало координат
новой системы совершает в старой системе произвольно заданное движение.
Действительно, преобразования
