Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 148

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 263 >> Следующая

d(Axv) d(Axv)
означает, что производные -^------- и -^ совпадают.
0Ха dxa
Непротиворечивость условий "б" и "в" можно показать следующим образом.
Поскольку многообразие М отнесено к соответственной ему системе
координат, то, согласно § 4, эта координатная система К выбрана так, что
интеграл I имеет экстремум при заданных на границе значениях координат и
их первых производных. Тогда и в измененном многообразии М можно ввести
соответственную ему координатную систему К, которая вне L совпадает с
системой К, т. е. отклоняется от К только внутри Ь\ но так как для
измененного многообразия М при заданных граничных значениях должен
существовать экстремум интеграла /, то отсюда для многообразия М следует
справедливость соотношений Вт = 0.
Если мы предположим, что координатные системы К ж К' являются
соответственными многообразию М, то, согласно (36), выполняются равенства
Г - / = Ох + Oi}
406
32
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
Т - 1 = 01+ Ot,
или равенство, получающееся в результате вычитания первого из этих
равенств из второго,
(/' _ Г) -(/-/)= {Ог - Ог) + фг - Ог).
Из условий "б" и "в", а также из соотношений между М и М с учетом (3)
следует, что Ох - Ох и Ог - 0% обращаются в нуль.
Многообразие М можно назвать многообразием, возникающим из М путем
варьирования. В соответствии с этим введем обозначения
I - / = 6а/,
= бв/';
тогда получим
б"/' = ба/. (4)
Здесь индекс а означает, что одновременно с многообразием варьируется
координатная система, причем так, что варьируемая координатная система
всегда будет соответственной варьируемому многообразию, но вместе с тем
координатная система на границе не варьируется ("соответственная
вариация").
Мы хотим доказать, что равенство
б Г = б/
выполняется для произвольной вариации многообразия, а не только для
соответственной вариации, как утверждает уравнение (4). Оказывается, что
произвольную вариацию можно получить из соответственной, если в
дополнение проварьировать и координатную систему. При этом для вариации
g^v, обусловленной одной только вариацией координатной системы, вариация
I, которую мы обозначим 6к1, обращается в нуль, поскольку мы
предполагаем, что вариации 6a;v и их первые производные на границе
области равны нулю и что варьируемая координатная система является
соответственной. Тогда из равенства (За) непосредственно следует
6fc/ = Ox -f 02 - Bmbxm-d% = 0.
J т
Поэтому наряду с равенством (4) можно написать следующее:
дкГ = б к1 = 0. (5)
В связи с тем, что произвольная вариация получается в результате
суперпозиции соответственной вариации и чисто координатной вариации,
407
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
1914 г.
из указанных двух равенств следует, что для произвольной вариации
выполняется равенство:
Теперь можно очень просто доказать ковариантность соотношения (V); так
как образуют контраварйантный, а Т^ - ковариантный тензор,
Из (6) и (7) следует, что соотношение (V) ковариантно по отношению ко
всем разрешенным преобразованиям координатной системы, поскольку вариации
выбираются так, что бу^л" и их первые производные на границе области
равны нулю. Теорема о вариациях, ковариантность которой таким образом
доказана, является несколько менее общей, чем теорема, примененная в § 3
для вывода уравнений гравитации. Однако внимательное рассмотрение § 3
показывает, что это ограничивающее краевое условие не влияет на
упомянутый вывод уравнений гравитации.
Тем самым доказано, что уравнения гравитации (II) ковариантны
относительно всех разрешенных преобразований координатной системы, т. е.
относительно всех преобразований координатных систем, для которых
выполняются условия:
В § 2 мы утверждали, что величины Ва не образуют общековариантного
вектора. Доказательство этого утверждения мы приводим только теперь,
поскольку благодаря использованию полученных выше результатов оно
оказывается особенно простым. Если бы величина Ва была ковариантной, то
все названные выше соответственными координатные системы были бы
произвольными. Ни один этап доказательства вследствие этого
обстоятельства не утратил бы силы. В этом случае величины
б Г = б/.
(6)
то 2 есть скаляр, а последнее утверждение справедливо и для
Y - g'dx. Следовательно,
(IV)
V-g
У Ф •
составили бы смешанный тензор; следовательно, сумма
32
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
была бы скаляром относительно произвольных преобразований. Но, как
следует из теории дифференциальных уравнений, эта величина не совпадает с
единственным дифференциальным инвариантом второго порядка7
2 Tim {iK km).
гтк
Хотя соответственные системы координат и разрешенные преобразования и не
становятся вполне наглядными в результате этой работы в силу такой далеко
идущей ковариантности уравнений гравитации, новая теория гравитации
приобретает большую убедительность. Поскольку условия i?a = 0,
ограничивающие выбор координатных систем, непосредственно следуют из
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed