Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
этот вопрос, как показывает следующее рассуждение, в значительной степени
зависит суждение о ценности теории с физической точки зрения.
Вся теория возникла на основе убеждения, что в гравитационном поле все
физические процессы протекают совершенно так же, как и без
гравитационного поля, но в соответствующим образом ускоренной
(трехмерной) системе координат ("гипотеза эквивалентности"). Эта
гипотеза, основанная на опытном факте равенства тяжелой и инертной массы,
приобретет особую убедительность в том случае, если окажется, что
"фиктивное" гравитационное поле, существующее в ускоренной (трехмерной)
системе координат, можно рассматривать как "истинное" гравитационное
поле, т. е. если в теории допускаются преобразования ускорения (иначе
говоря, нелинейные преобразования).
На первый взгляд кажется, что следовало бы искать уравнения гравитации,
ковариантные при любых преобразованиях. Однако в § 2 настоящей работы мы
покажем, что только при помощи общековариантных уравнений невозможно
определить величины g^, характеризующие гравитационное поле2.
Ниже приводится доказательство, что составленные нами уравнения
гравитации являются общековариантными в пределах, допускаемых условием,
чтобы фундаментальный тензор g^v полностью определялся этими уравнениями;
в частности, получается, что уравнения гравитации ковариантны
относительно всех преобразований ускорения (т. е. нелинейных
преобразований).
Энергетические свойства физической системы мы характеризовали
ковариантным тензором или обратным ему контравариантным тензором e^v.
Этот тензор удовлетворяет уравнениям (10) "Проекта"
1. Основные уравнения теории
ИЛИ
[J.V V P-V
2 Ср. также примечания в приложении к работе "Проект". (Статья 21).
4ВО
32
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
представляющим собой уравнения энергии-импульса материальной системы. Все
уравнения принимают особенно наглядную форму, если ввести величины
= 2 (1)
И- ^ 4 '
которые отличаются от составляющих смешанного тензора 3 лишь множителем У
- g и которые мы будем называть "комплексом плотности энергии" физической
системы. Тогда написанные выше соотношения принимают вид:
дх 2 ^ дх *^р pv ' '
V V [AVp 0
Если вместо тензора энергии гравитационного поля также ввести "комплекс
плотности энергии гравитационного поля", а именно величины
to. = S V^g- v,. = 21Vgqfiy.,, (2)
(A [A
то из уравнений (14) или (13) "Проекта" следует
-2xt" = 2 (2a)
чЭр-г 0 p а/Зрт а p '
причем 6av = 0 при a v и 65V = 1 при a = v.
Вместо уравнения гравитационного поля (21) или (18) "Проекта" теперь
получим уравнения
2 -?r [v~gra,gv= * (?<>" + W- (II)
сс0[а а 4 Р
Из уравнений (I) и (II), так же как в § 5 "Проекта", можно вывести
общие законы сохранения, которые теперь принимают вид
2-д|-(?о, + *О,) = 0. (III)
3 Ср. § 1, часть II "Проекта".
26 а. Эйнштейн, том I
401
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
1914 г.
2. Замечания о выборе системы координат
Совершенно отвлекаясь пока от полученных нами уравнений гравитационного
поля, покажем, что полное определение фундаментального тензора
гравитационного поля посредством системы общековариант-ных уравнений при
заданных 0^ невозможно.
Именно, мы можем показать, что если при заданных 0р. v решение для уже
известно, то из общей ковариантности уравнений можно сделать вывод о
существовании других решений.
Возьмем в нашем четырехмерном многообразии область L, в которой не
протекает никакого "материального процесса" и в которой, следовательно,
составляющие 0p.v обращаются в нуль. Пусть Yp.v определяется всюду, в том
числе и внутри L, величинами 0^, заданными вне L (предположение "а").
Пусть вместо первоначальных координат хv введены новые координаты xv
следующим образом. Вне L всюду xv = xv, а внутри L xv =/= xv, по крайней
мере в какой-то части L и хотя бы для одного значения v. Ясно, что такой
подстановкой без труда можно добиться, чтобы по меньшей мере для части L
С другой стороны, 0р. v = 0р. v всюду,
как вне L, поскольку для этой области xv - xv, так и внутри L, так как
для этой области 0p.v = 0 = 0p.v. Следовательно, если допустить самые
общие преобразования, то одной и той же системе 0p.v соответствовала бы
больше чем одна система Yp.v, что противоречит предположению "а" 4.
После того, как мы убедились, что приемлемая теория гравитации с
необходимостью требует специального выбора координатной системы, нетрудно
также показать, что в основе наших уравнений гравитации и лежит
специальная система координат. Именно, из уравнений (II) после
дифференцирования по xv и суммирования по v с учетом соотношений (III)
получаются соотношения
т. е. четыре дифференциальных условия для величин g^; эти соотношения
4 Это рассуждение уже содержится в примечаниях к "Проекту". Однако
последующее утверждение об ограничении выбора координатной системы
неправильно; оно вытекает из соотношения (III) лишь в том случае, если
разрешаются только линейные преобразования, при которых величинам t jY-8
