Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
во время которого постепенно победило представление о том, что в
элементарных законах расстояния между конечноудаленными точками не могут
появляться, т. е. "теория дальнодействия" была заменена "теорией
близкодействия". При этом, однако, забылось, что эвклидова геометрия, в
том виде, как она применялась в физике, также состоит из физических
утверждений, которые с физической точки зрения устанавливались из
интегральных законов ньютоновской механики точки. Это означает, на мой
взгляд, некоторую непоследовательность, от которой нам нужно
освободиться.
Поиски решения снова приводят нас к тому, чтобы вместо координат
использовать сначала произвольные параметры для описания четырехмерного
пространственно-временного континуума, который нас окружает.
Мы снова приходим к рассмотрению, которое было проведено в разделах В и С
настоящей статьи, с тем единственным отличием, что взаимосвязь величин
gjj,v с гравитационным полем не предполагается. Если бы мы пожелали
сохранить эвклидову геометрию (в указанном смысле), то вместо выведенных
в этом разделе уравнений мы получили бы уравнения, которые являются
следствием следующего утверждения: координаты могут быть выбраны таким
образом, чтобы величины не зависели от xv. Таким путем мы пришли бы к
требованию, чтобы компоненты введенного в § 9 тензора Римана -
Кристоффеля исчезали в этом случае, обращались в нуль. Тем самым законы
эвклидовой геометрии были бы сведены к дифференциальным уравнениям;
однако при такой формулировке существа дела чувствуется, что с точки
зрения последовательного проведения теории близкодействия эта возможность
отнюдь не является наиболее простой и очевидной.
Е. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ПОЛУЧЕННЫХ ЗАКОНОВ
При выводе законов я старался, насколько это было возможно, оставаться на
формальной точке зрения. Теперь, чтобы не оставлять пробелов в изложении
рассматриваемого вопроса, осветим кратко и физический смысл полученных
результатов. При этом, чтобы не затемнять изложения сложными
математическими выкладками, мы ограничимся рассмотрением некоторых
приближений.
378
Формальные основы общей теории относительности 1914 г.
§ 17. Построение приближенных уравнений с различных точек зрения
Из широкой области применимости уравнений специальной теории
относительности следует, что в доступной нашему восприятию
пространственно-временной области величины можно приближенно считать
постоянными. Поэтому мы положим
:)
(82)
где величины g^0 и goV принимают значения
- 1 0 0 0
0 - 1 0 0
0 0 - 1 0
0 0 0 - 1.
(82a)
При этом величины и рассматриваются как бесконечно малые первого порядка,
между которыми при пренебрежении бесконечно малыми второго порядка
выполняются соотношения
= - V- (83)
Здесь, как и у Минковского, временная координата выбрана чисто мнимой;
этим объясняется, что (g44)o - go4 = - 1 и чт0 система уравнений остается
ковариантной относительно линейных ортогональных преобразований. При
выборе мнимой временной координаты g14, g24 и g34 будут мнимыми, так
же как У - g; справедливость выведенных нами
уравнений, тем не менее, остается гарантированной, поскольку от
вещест-
венной временной координаты к мнимой можно перейти линейным
преобразованием. Предположением (82а) достигается также и то, что
естественно измеряемые длины и координатные длины в рассматриваемой
области совпадают с точностью до бесконечно малых первого порядка.
Заменим уравнения (81) и (81а) уравнениями, которые получаются отсюда при
пренебрежении бесконечно малыми величинами второго и высших порядков.
Тогда величина обращается в нуль и мы получаем
= г"$', (84)
S
дх\
380
.29 Формальные основы общей теории относительности
Введем дальнейшее приближение тем, что в тензоре будем учитывать только
те члены, которые соответствуют весомой материи, причем члены, обязанные
своим происхождением поверхностным силам, опускаются. При этих
предпосылках соотношение (48) дает тензор энергии. Так как, согласно
соотношению (48), тензор ^ конечен, то получается далеко идущее
приближение, если в (48) пренебречь также и бесконечно малыми первого
порядка. Тогда получим
dXf. dx
?а = - Ф0 • (846)
Подставляя это выражение для в уравнение (84), находим (если левую часть
уравнения (84) обозначить через ЕЛ0У)
dx dxv
? h0v = хр0 . (85)
В этом уравнении хх, х2, xs
пространственные координаты, ж4= it-
vt
dx г2 . dxl dt2 dt2
dx I
- эле-
(мнимая) временная координата, a ds0 = dt
мент "собственного времени" Минковского. r dt2 dt2 dt2
После того, как мы заменили уравнение (81) приближенным уравнением,
сходство которого с уравнением Пуассона в ньютоновской теории тяготения
бросается в глаза, мы проделаем то же самое с уравнениями движения
материальшш точки (496) вместе с уравнением (51). Исходное приближение
получаем, полагая вместо уравнения (51)
dx,
тп
ds0
(86)
Введем в эти уравнения трехмерный вектор скорости q, абсолютная величина
которого равна q:
mqr
-л =
-h =
