Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
а/С выше, чем в его отсутствие: такой атом диамагнитен. Магнитный момент
атома, приобретаемый им в поле есть
в?"' (14.42,
дЖ Л I С/ис- td
\ i /
Величину х следует рассматривать как магнитную восприимчивость атома.
Отметим, что формула (14.41) для квадратичного эффекта Зеемана получена в
первом порядке теории возмущений, а квадратичный эффект Штарка появляется
во втором порядке теории возмущений и приводит к понижению уровней
энергии (поляризуемость атома всегда положительна). Аналогично, к
понижению энергии терма основного состояния приведет и квадратичный по
полю <3%* член второго порядка по возмущению Vm в случае L Ф О, S^O.
Поэтому атомы с незаполненными оболочками могут быть и парамагнитны.
14. Для определения самосогласованного поля в тяжелых атомах можно
воспользоваться методом ВКБ. Потенциал эффективного поля U (г) можно
связать с плотностью электронов р (г) электростатическим уравнением
Пуассона
AU (г) = - 4зтр (г). (14.43)
В этом пункте мы будем использовать атомные единицы. Считая
самосогласованное поле U (г) центральным, что оправдано для тяжелых
атомов, так как большая часть электронов в них находится в заполненных
оболочках, мы сможем представить одноэлектронные ВФ в виде
%1т=^У1т(В, ф),
где функция y_ni (г) удовлетворяет радиальному уравнению
х" + 2[? -H(r)-*-^±1)]х = 0.
Электронная плотность определится суммированием плотностей электронов,
определяемых одночастичными ВФ:
р(г) = -2 ? (Н.44)
nlm
284
Здесь двойка перед суммой учитывает наличие двух возможных значений
проекции спина электрона. Для суммирования по т в (14.44) используем
известное тождество
2 \Ylm |2 = ^1. (14.45)
т=-1
В результате получаем
р(г)=-22-#-2-Уг- <1446>
nl
В квазиклассическом приближении в области между действительными точками
поворота радиальная ВФ имеет вид
= Pnidr-^, (14.47)
где р,й есть классическое выражение для импульса частицы: р"т - Ent - U
(г) -(я = Л-|). (14.48)
Нормировочная постоянная Ani связана с энергетическим спектром
приближенным равенством (см. п. 7.4)
А^ч-ж- <14-49>
Подставляя соотношения (14.47)-(14.49) в формулу (14.46) и заменяя
квадрат косинуса его усредненным значением (что оправдано лишь при
больших п), получаем
<14б0)
til
Предполагая, что большая часть электронов находится в состояниях с
большими значениями чисел п и I, заменим суммирование по п и I
интегрированием:
h п,
. . 1 Г ,,21 + 1 Г , дЕ 1
Р - 2я2 ] dl Г2 \ dn дп Рт '
Iq tl о
Рассмотрим внутренний интеграл. Интегрирование по dn переходит в
интегрирование по dE:
Интегрирование по dE ведется от действительной точки поворота Еu- V (г)
до границы дискретного спектра Et = U. Через Г (г) обозначен эффективный
потенциал. Подставляя пределы интегрирования, приходим к соотношению
Р (Г) = - i jj ^ y-2V,(r) dl. (14.51)
L
Интегрирование по dl выполняется с учетом равенства
dVi __ д Г///,ч I <' + 1/2)'1_ 2/+ 1
[f/(r)
dl ul L 2/ - | 2/2
Таким образом, интегрирование по dl переходит в интегрирование по dV:
/. г (/.)
р (г) ="i S,/"1Т'7 dl = ~ i S V-2V (14-52)
/п V' (/")
Интегрирование ведется в пределах от /-=0 (соответствующее значение
эффективного потенциала I7,, U (г) - - (8г2)-1) до максимального значения
1г, при котором эффективный потенциал меняет знак (ср. п. 5.4):
V,t (г)== 0.
Выполняя интегрирование в (14.52), подставляя пределы и пренебрегая
центробежным потенциалом в случае / = 0, мы получим
Р(0 = яЫ-2*Д')]3'2.
Используя уравнение Пуассона, приходим к равенству
Аф(г) = ^-ф(/-)3/2. (14.53)
Здесь введено обозначение ф (г) = - U (г). Уравнение (14.53) называется
уравнением Томаса -Ферми.
Граничные условия для функции ф определяются требованиями
lim ф(г) = 0,
. . (14.54)
lim^~= 1.
г -"0
Первое из этих условий очевидно, а второе следует из того,
что на малых расстояниях от ядра экранировка стано-
286
вится несущественной и эффективный потенциал в основном определяется
взаимодействием электронов с ядром. Вводя новую функцию
Ф (г) = пр (г) Z1,
получим для нее уравнение
Z
Ф" :
8 V 2 Z3/2
Зя ,-3/2
Вводя безразмерную переменную
/8 Г2г'/:
фЗ/2.
(14.55)
х -
(Чг) z>/Зг'
преобразуем уравнение (14.55) к виду
(tm) = _±-фЗ/2.
dx3
|/х
(14.56)
Уравнение (14.56) уже не содержит констант, относящихся к данному атому,
и опре- ф деляет некоторую универ- ^ сальную функцию Ф (х),
удовлетворяющую условиям
Ф (0) = 1, Ф(уэ) = 0.
(14.57)
15. Решение уравнения д j ^ х
Томаса - Ферми с граничными условиями (14.57) Рис. 43.
может быть найдено только
численными методами. Оно показано на рис. 43. Получим приближенное
решение этого уравнения, впервые найденное Зоммерфельдом. Асимптотику Ф
(х) при х->оо выберем в виде
Ф^Лхгп.
Подстановка этого решения в формулу (14.56) дает
Ап (п + 1) х-"-2 = А3'2хг3п'2-1/*.
Приравнивая показатели степени и числовые коэффициенты, получаем
п = 3, Д >/2 = ,!("+ 1) = 12. (14.58)
Таким образом, уравнение (14.56) имеет точное решение ф0(х)=144х 3,
которое не удовлетворяет, однако, гранич-
