Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
состояний в системе двух нейтронов.
2. Найти зависимость дифференциального сечения рассеяния поляризованных
тождественных частиц со спином 1/2 от угла f> между направлениями
поляризации.
3. Потенциал взаимодействия тождественных фермионов со
спином 1/2 представляет сферический барьер (|2 <; 1). Найти о
(6) для
медленных частиц в синглётном и триплетном состояниях.
4. Показать, что величина обменного расщепления уровней
системы из двух слабовзаимодействующих тождественных фермионов со спином
1/2 может быть представлена как СЗ обменного оператора Дирака
JPl2 = J • -^(l + Ol02)-
5. Найти СФ и СЗ оператора обменного взаимодействия системы из трех
электронов
V =*- (./12^12 + ^28^28 + .^81 Phi)-
6. Показать, что оператор полного числа частиц
N = J^btbi
I
коммутирует с гамильтонианом в представлении вторичного квантования.
Здесь bi, bt-операторы Бозе или Ферми.
7. Для системы из N тождественных частиц со спином 1/2 определить
максимальное число различных уровней энергии с заданным значением полного
спина S.
8. Показать, что оператор квадрата полного спинового момента системы N
электронов может быть представлен в виде
5*="-?-+ 2
к<1
0. Показать, что оператор
У = ~Е JkiPki
к<1
коммутирует с оператором квадрата полного спинового момента.
Глава 14
ATOM
0. Энергетический спектр и волновые функции атома водорода подробно
рассматривались в главе 5. В этой главе мы рассмотрим методы отыскания
энергетического спектра и ВФ атомов, содержащих более' одного электрона.
При этом учет тождественности атомных электронов и требование правильной
симметрии ВФ будут играть существенную роль. Точные решения уравнения
Шредингера для системы из трех и большего числа частиц не известны.
Поэтому для нахождения спектров сложных атомов мы используем приближенные
методы.
1. Простейшими после атома водорода и водородоподобных ионов системами
являются .двухэлектронный атом гелия (Z = 2) и гелиеподобные ионы (Z>2).
Рассмотрим вычисление энергии основного состояния атома гелия по теории
возмущений. В нулевом приближении атом можно рассматривать как систему
двух невзаимодействующих электронов в поле ядра:
ВФ нулевого приближения есть просто произведение одноэлектронных ВФ:
Взаимодействие между электрбнами учтем как возмущение. Оператор
возмущения имеет вид
р2 у
2 т л2
(14.1)
Энергия системы в нулевом приближении есть
(14.3)
265
В первом порядке теории возмущений поправка определяется средним
значением энергии возмущения
?"> = Voo= ^ Фо (Г1, г2) ? Фо (гь r2) dxx dr2. (14.4)
Для вычисления интеграла воспользуемся известным выражением
где индексы < и > относятся к меньшей и большей из величин гъ г2
соответственно. Поскольку ВФ нулевого приближения сферически симметрична,
отличный от нуля вклад в интеграл (14.4) дадут только члены с 1 = т - 0.
Итак,
Окончательное выражение для энергии основного состояния:
Этот результат можно улучшить, заменив в (14.2) величину Z вариационным
параметром ?. Напомним, что вычисления в первом порядке теории возмущений
эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода при не наилучшем
выборе пробной функции. Итак,
Минимальное значение Е (?), соответствующее значению
/, т
*? 2Zr2
+ \ е а° r2 dr2 r\ drx. (14.6)
г,
Интегралы вычисляются элементарно: Ew = 5Ze2/8a0.
(14.7)
(14.8)
есть
Меньшую, чем Z, величину "эффективного заряда" t можно объяснить взаимной
экранировкой электронов. Экспериментально наблюдаемой величиной является
энергия ионизации /, необходимая для отрыва одного электрона. Она равна
разности Е"-Е0, где Ео - энергия оставшегося иона -
Для атома Не формула (14.9) дает значение / = 0,85 а. е.
Экспериментальное значение / = 0,9035 а. е. Как видно из сравнения формул
(14.1) и (14.3), малым параметром теории возмущений е в нашем случае
является величина Z1. Поскольку для гелия 8 = 0,5, то согласие нашего
расчета с экспериментом может расцениваться как удовлетворительное. Для
гелиеподобных ионов с большими Z согласие с экспериментом улучшается. С
другой стороны, при Z = 1 формула (14.9) дает отрицательное значение
потенциала ионизации. Однако в действительности энергия ионизации иона Н\
положительна: / 0,7 эв. При-
чины неприменимости теории возмущений очевидны.
2. Выбранная нами ВФ основного состояния (14.2) симметрична по
отношению к перестановке пространственных переменных г1( г2. В
соответствии с общим
требованием антисимметричности полной ВФ эта координатная ВФ
соответствует состоянию системы с полным спином S = 0 (парасостояние).
Система в ортосостоянии - состоянии с S = 1 - должна описываться
антисимметричной координатной ВФ. Такая ВФ не может быть построена из
двух одинаковых орбиталей. Поэтому в качестве исходных функций используем
Это - ВФ основного и первого возбужденного (2s) состояний частицы в
кулоновском поле. Из функций фх, ф2 могут быть построены как
антисимметричная орбиталь ортосостояния
(14.9)
Ь (г)
4J/2 зт \а0 / \ Оо!
1Ц1\3'Ч2-^\
/2п \а0) V а0 I
