Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 65

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 85 >> Следующая

число частиц в системе на единицу, рождая частицу в состоянии с <7 = <70.
В самом деле, оператор bt создает частицу в состоянии ф/ (q). Поэтому ф+
(q") создает частицу с ВФ
? Ы I 0) = 2Ы Ь (ч) = 8 (7 - Чо).
i
так как использованная система функций ф/(<7) полна. Правила перестановки
операторов ф(, ф? следуют непосредственно из определения (13.35) и
перестановочных соотношений для операторов bt:
Ф (I) Ф+ (ф) ± Ф" (п) Ф(|) = 6(|-г]). (13.36)
Верхний знак (плюс) -для фермионов, нижний -для бозонов. Операторы ф
позволяют представить гамильтониан системы тождественных частиц с парным
взаимодействием в виде
Я = $ф+ (?) Щ (I) 4 +
. + 2 J I ? (е)Ф' (й) У (I, й)Ф0п)Ф(1)4<*1- (13.37)
2С0
|С Аналогия между формулами (13.35), представляющими разложение
операторов ф по операторам bh и формулой
к 1 А
для разложения произвольной функции по полной орто-нормированной системе
функций и послужила одной из
I. причин, по которой описанный метод был назван методом вторичного
квантования.
Ш 8. Рассмотрим кристаллическую решетку, узлы которой if-.;, определяются
вектором
\?-
ps __ q n - niai ~Ь П2а2 ~Ь Пзав-
, Здесь а/ суть базисные векторы решетки, а п = [пи п2, п8] р. есть
тройка целых чисел. Пусть в узлах решетки расположены атомы, каждый из
которых имеет один валентный электрон. Пусть координатные ВФ валентного
электрона для изолированного атома суть ф(г -q"). Эти функции I можно
приближенно считать ортогональными:
<ф (г - q") | ф (г - qm)> = б"т.
Пренебрежем возможностью электрона переходить от !;• одного узла к
другому. Рассмотрим, как зависит энергия системы от спинового состояния
всех валентных электронов.
Выберем функции ф(г -q") в качестве базиса. Гамиль-¦ тониан системы
валентных электронов в представлении Ф вторичного квантования имеет вид
? Я = 2<Р\h |а) с?са + у 2 (уб! V 1 оф ) с^с^срса.
р а у 6 а р
(13.38)
Здесь h есть оператор энергии валентного электрона . в потенциальном поле
всех атомов, а V есть энергия fc электростатического взаимодействия
валентных электронов. Преобразуем гамильтониан (13.38) к такому виду,
что-бы объектом действия Н являлись функции от спиновых переменных всех
валентных электронов. Каждый из индексов а, р, у, б есть совокупность
чисел \пъ п2, пя, а], ^указывающая номер узла и спиновое состояние
электрона в этом узле.
261
Рассмотрим первый член суммы. При сс = [п, +1/2] и Р = [п, -1/2]
матричный элемент между этими - состояниями равен нулю. Поскольку каждый
атом содержит только один валентный электрон, то случай а = [п, а], Р =
\п\ о'] не реализуется. Поэтому в первом члене можно положить
ЛЬЛ л
са " * •
Матричный элемент (yb \ V | ар ) отличен от нуля тогда, когда пары
состояний (у, а) и (6, Р) обладают одинаковыми значениями проекции спина.
Так как каждый атом имеет один валентный электрон, то во второй сумме
либо
у = а = [п, о], 6 = р = [< o'],
либо
а = [п, о], р = [п' o'], 6 = [n, o'], у = [< о].
В первом случае спиновые состояния электронов в узлах п и п' не
изменяются. Во втором случае происходит "обмен спинов" между атомами п и
п\
Введем новый оператор РПП', который производит обмен спинов. Тогда в
первом случае
СуСбС|зСа = СуС аС(,С$ - /,
а во втором
СуС(, СрСа = СуС рСбСа = Рпп' .
Заметим, что если спины валентных электронов у атомов пип' параллельны,
то РпП' - 1. Введем обменный интеграл
J (я" Яп')= J (Яп' Яп)=
= $ $V' (Г1 - ЯяИ* (г2 - Яп') V гр (Г1 - Яп') Ч'1 (г2 - Яп) drydr.2.
Зависимость J от (Яп -Я"') следует из трансляционной симметрии. Таким
образом, оператор Н может быть представлен в виде
Н - Е -g- ^ J (я" Яп') Рпп'"
пфп'
ИЛИ
H = E0-j ^ ^(Яп-Яп')(Рп"'-1). (13.39)
пфп'
262
Если спины всех электронов в состоянии Ф параллельны, то НФ - Е0Ф.
Рассмотрим состояние Y, в котором суммарный спин системы на единицу
меньше максимального. Обозначим через Ф/ состояние, отличающееся от Ф
тем, что спин у i-ro электрона перевернут. Репюние уравнения Шре-дингера
ищем в виде
? = 2Лгфг- (13-4°)
Подставляя функцию (13.40) в (13.39), получаем
-12 ^(я"-чп')(^п'-1)-2л'ф'=^-?о)2Л1'Фг-
пфп' i
(13.41)
Если л и л' не равны i, то левая часть выражения (13.41) есть нуль.
Рассматривая два случая: 1) ti' - i, пфС и 2) п - i, пг Ф i, мы получим
- 2] ZJ (Я" - Яг) ИгФ" - ЛА-) = {Ег - Е0) % A&t.
in i
Так как функции Фг и Фу при i Ф j ортогональны, то, составляя скалярное
произведение, получим
2 J (Ф - Чj) {Aj - At) - (E - E0) Aj. (13.42)
i
Для того чтобы функция Я* удовлетворяла теореме Блоха, должно быть (ср.
п. 6.14)
- А = Ле'Ч . (13.43)
Подставляя (13.43) в (13.42), получаем
Ei = E0+2 J(qn)(l-eik4n)t q" = qi-q,, (13.44)
п-ф. 0
Если J > 0, то энергия состояния с максимальным спином соответствует
основному состоянию, а состояния с ВФ
Яг = Л2е?кчфг
г
и энергией (13.44) описывают возбужденные состояния . системы, которые
называются спиновыми волнами.
263
• ЗАДАЧИ
1. Считая, что взаимодействие между нуклонами в триплетном состоянии
описывается потенциалом задачи 5.18, объяснить отсутствие связанных
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed