Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
строк (или k .столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров k-то Гг
порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), L на их
алгебраические дополнения равна детерминанту.
255-
Итак, можно записать
Ф = Уж2(~ П^'фаЫЛ*', (13.13)
где п (а) - номер столбца, соответствующего состоянию а, а минор М'
получен из детерминанта путем вычеркивания строки k и столбца п (а). В
дальнейшем для краткости набор координат qk будем обозначать просто
индексом к. Аналогично
Минор М" получен из детерминанта путем вычеркивания строк 1, k(i<.k) и
столбцов "(а), п({5) (п (а) < п ([})). Легко убедиться, что
Формулы (13.13) можно записать в смешанных представлениях:
Ф''")/Д (Л;Л) 22 (- !)*** 1фа (0 4>р (*) - Фр (*') (*)1 X
При переходе к последней строке в (13.18) мы опустили условие п (а) <"
([}) в суммировании, воспользовавшись антикоммутативностью са, с р.
Используя смешанные представления, найдем вид опе-
(13.15)
(13.16)
¦ (1зл71
а
а р л(а)<п(Р)
4 (13.18)
(13.19)
Vik Фа (0 фр {к) = 2 (у6 I V 1 аР> Чу (0 Я* (к),
'¦получим I
fНФ = y= 2 <P I.h I "> 2 (~ 1 )"+1(PP (*> ^ i °> +
+
Pa
1
Vn (tv-i)
2 <Y, 6 | V | a, p) 2 (- 1),ч*Фу (0 Фе (к) X
V6ap
i<k
X ceCpAjO>. (13.20)
\ Перейдем теперь от смешанного представления к представ-у лению
вторичного квантования. Преобразование одночастичной части гамильтониана
проводится с учетом формулы
ТТ^2(_1)"фр {k)iaA 1°> = ^"И 1°>. (13.21)
А
непосредственно следующей из (13.13) и (13.15). В левой части (13.21)
стоит разложение детерминанта по первому столбцу, содержащему функции <рр
(k):
Я(1,=22Ф1^|аХ^а-
р а
(13.22)
Рассмотрим теперь второй член в (Г3.20):
1 2 <vM VI "р> 2 (- 1)'+Ч (0 фе (k) саСрА 10>
Vn (tv- i)
убар
i < k 1 1
V TV (TV - 1) 2
2(<T6|fr|"P>x
убар v
X ^(- 1)|+*фу (0 Фе (к)сасрА 10) +
i<k
-f <6у I VI pa) 2 (- 1)'+*Фб (0 фу (к) Срсал 10 >
i < k
Учитывая равенство
(уб | У | ap> = (6у ] V | pa>,
(13.23)
(13.24)
преобразуем правую часть формулы (13.23) следующим образом:
й"ф"тЬ?т5 ¦ т 2 <v" Iу I "Р> 2<- ')¦-х
убар 1< k
X (фу (0 Фе (к) - Фг 0) Фу (к)) ср саА [ 0). (13.25)
9 П. В, Елютин, В, Д. Кривченков 257
Здесь мы учли антикоммутативность операторов са, ср. Из формул (13.14) и
(13.16) следует равенство
= с^СбСрСцЛ 10). (13.26)
X' N (N - 1) ¦
< к
Выражение, стоящее в левой части формулы (13.26), представляет собой
разложение детерминанта по первому и второму столбцам. Итак, гамильтониан
системы тождественных фермионов в представлении вторичного квантования
имеет вид
H = Z(r)\h\v)c^ca +
[ta
+ -J 2 фб<?6 | У| оф> СрСа. (13.27)
v6"p
6. Рассмотрим теперь представление вторичного квантования для системы
тождественных бозонов. Определим операторы at, ак, действие которых на
функции чисел заполнения определяется правилами
йк\А, пк, В) = У~пк \А,пк-\,В>,
. ^ . ^ ^ (10.^0)
I Л, tiki В/ ==|/^П/г+ 1| Л, nk + 1, В\
Из правил (13.28) следуют коммутационные соотношения акщ - аДк = О,
akat - ajat = 0, (13.29)
аДк -at&i = 8ik.
Операторы ак, at с коммутационными соотношениями (13.29) называются бозе-
операторами уничтожения и рождения соответственно. Свойства таких
операторов при i = k рассматривались в задачах к главе 1.
Волновой функции (13.1) сопоставим функцию от чисел заполнения и будем
рассматривать числа заполнения как независимые переменные
Ф = |tii, "2.Щ, ...). (13.30)
258
В смешанном представлении Ф имеет вид
СО __
ф= "г,..•••>==
i=*\
со
= 2 "2. •••, "г. •••>• (13.31)
f = i
Легко показать, что
Ц 'Фг (9а) Ц М ("2) • • • ("г - 1)... = ct=l
= "il>i) (п2)... (я,), (13.32)
где суммирование ведется по всем упорядоченным разбиениям. Из формулы
(13.32) следует соотношение
N
2 vw^'*,h' ,h'' '' ' Щ ~ ^=
а=Г
= V>h\th, П2,...)=а}\пи п2,..., щ- 1, ...>.
(13.33)
Используя формулы (13.19) и (13.31), получим
N
22 (k I h I i) 2 Ф* (<?а) Yw й' * Пи >h' " ^ +
ft " а - 1
2(/m|F1,'fe> х
/ т f ft
N N
X ^ ^Ф/ (9(0 фт (9а) |/ д/ (д/ &tAl | /г1> ,l2< • • •)¦ (13.34)
р = 1 а= 1
При помощи соотношения (13.33) совершим переход от смешанного
представления к представлению, в котором переменными являются только
числа заполнения. В результате этого перехода получим
Н | пи "2, ...)=_? </е | /г | г) а1й; | пи /г2, ...) +
к i
+ \ 2 т I ^ ^ ^ й'й'пй'йт 1 /2Ь П2. • • ¦)¦
/ /л i к
9" ' 259
Таким образом, гамильтониан Н в представлении вторичного квантования
имеет вид
Я = 2 I ^ I ") + у 2 (УЬ I ^ 1(r)^ "тД5<%<3".
а(3 v6a|3
Это выражение формально совпадает с (13.27), отличаясь заменой ферми-
операторов на бозе-операторы.
Отыскание собственных значений гамильтониана системы взаимодействующих
тождественных частиц представляет сложную задачу, решение которой требует
либо рассмотрения специальных простых моделей, либо использования
приближенных методов.
7. Развитый выше формализм можно представить в несколько ином виде.
Используя явный вид функций ф/ (q), введем операторы
й(<7) =2^1 {фЬп
L . (13.35)
V(q)=--^?(q)bt.
i
Здесь bh bf суть операторы dt или ch Оператор ф1 (q") увеличивает полное
