Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 63

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 85 >> Следующая

функцией: возможны только нечетные значения орбитального момента /.
В общем случае энергетический спектр задачи двух тел зависит от I.
Поэтому возможные значения энергии зависят от полного спина системы. Про
такую зависимость говорят, что она вызвана обменным взаимодействием. Если
оператор взаимодействия V(; га - г2!) двух тождественных частиц со спином
1/2 мал (например, по сравнению с энергией внешнего поля С/ (г,-)), то
взаимодействие можно учесть как возмущение. Невозмущенным орбиталям
Фн-> = jj [фх (П) ф-2 (П) ± Фг (г2) Ф2 (П)]
соответствуют в первом порядке теории возмущений средние значения энергии
-взаимодействия
Ei,2 -A ±J,
252
где
Л = ^ V (fi - r2) I "Pi (п) |2 | ф2 (г8) Р di-! drг,
(10.5)
/ = 55 фТ (Г2) cpi (г2) V (Г! - г2) ф| (iy) ф2 (г.) drl dr2.
р Величина J, определяющая разность энергий, называется обменным
интегралом.
3. При рассмотрении задачи рассеяния двух тождественных частиц
орбитальная ВФ должна быть, в соответствии
усо сказанным в п. 13.2, симметрична или антисимметрична по отношению к
перестановке координат частиц в зависимости от их суммарного спина. Это
относится к взаимодействиям, при которых суммарный спин является
интегралом движения.
Вместо граничного условия (9.4) вы выберем асимптотическое выражение ВФ
рассеяния тождественных частиц в виде
ф = eikz ± erikz -fе- [/ (6) ± f (л - б)].
%;¦ Верхний знак (плюс) соответствует четной орбитальной ВФ % (четный
суммарный спин). Дифференциальное сечение ; г рассеяния в этом случае
Mfl) = im+f("-e)|*. (13.6)
Аналогично, дифференциальное сечение рассеяния для , нечетного суммарного
спина
оп(6) = |/(0)-/(л-0)|2. (13.7)
I'- Формулы (13.6), (13.7) относятся к случаю столкновения частиц с
заданным суммарным спином. Обычно опыты по рассеянию проводятся с
неполяризованными пучками частиц и мишенями и наблюдается среднее
значение эффективного .сечения. Предполагая равновероятность
осуществления - каждого спинового состояния, для двух фермионов со
^спином 1/2 получим в . 1,3
- ' O'eff 4 4 Фг-
4. В предыдущем изложении мы ограничивались случаем . системы двух
тождественных частиц. Для рассмотрения
систем с большим числом тождественных частиц удобно использовать метод
вторичного квантования.
h 253
Рассмотрим систему тождественных фермионов. Пусть (q) есть некоторая
полная система ортонормированных функции. Выбор этой системы определяется
соображениями удобства. Эти функции совсем не обязаны быть собственными
функциями одночастичного гамильтониана.
Для описания системы тождественных фермионов достаточно указать, какие
одночастичные состояния заняты:
Напомним, что все состояния перенумерованы и номера состояний в этой
записи возрастают слева направо. Такая функция соответствует функции
(13.3) - детерминанту, включающему строки с индексами соответствующими
единицам в функции (13.8). Функцию (13.8) мы будем называть ВФ системы в
представлении чисел заполнения.
Функцию Ф удобно представить в несколько ином виде. Пусть |0) есть ВФ
вакуумного состояния, для которой все числа заполнения в (13.8) равны
нулю. Введем операторы с%, удовлетворяющие соотношениям
действие которых на вакуумную ВФ в представлении чисел заполнения
определяется правилом
Операторы cj и ск называются ферми-операпгорами рождения и уничтожения
соответственно. Смысл названий ясен из формул (13.10). Свойства фермп-
операторов при i = k рассматривались в задачах к главе 1.
Из формул (13.10) следует, что функция Ф может быть представлена в виде
Отметим существенность порядка операторов рождения в этой записи: такая
функция соответствует детерминанту со строками (cd, а2, ...). Очевидно,
что ВФ (13.11) удов-
254
(138)
CiCk + ckCi= 0, cjci + cicj = о,
С iC k "I- С кСi - ,
(13.9)
Ф - CalCcc'* . . . CaN |0. -
(13.11)
летворяет правилу симметрии, меняя знак при перестановке он' *-* ak.
Такой замене соответствует перестановка строк детерминанта (13.3).
Выше мы подразумевали, что речь идет о системе невзаимодействующих
частиц. Однако функции Ф образуют полную ортонормированную систему, по
которой может быть разложена произвольная ВФ системы взаимодейст-' вующих
частиц, удовлетворяющая правилу симметрии.
5. Пусть гамильтониан системы тождественных фермио-. нов имеет вид
#=2 4+2^/. . (13.12)
/= I К1
л
где hi есть одночастнчный гамильтониан: hi-ll + UiXi), '
. a Vij есть потенциал взаимодействия между частицами i и /: ; V.J
,= V (| Г/ - Г,- |).
L Поскольку ВФ, представленные в виде (13.11), обладают правильной
симметрией, гамильтониан Н также удобно ч представить через операторы,
действующие в пространстве чисел заполнения.
В дальнейшем для }фаткостн будем обозначать через А ' произведение
операторов рождения, подобное записанному jb (13.11). Очевидно, что
саА{О)=О,
[ если в А отсутствует cvi;
{ &Л\о)=А\о),
к если в А есть оператор cj.
I- Детермннаитную ВФ (13.3) можно преобразовать на г основании известной
теоремы Лапласа. Пусть в детерминанте D порядка N произвольно выбраны k
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed