Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
замене
Я)-^Я1
либо меняет знак (антисимметричная ВФ), либо остается неизменной
(симметричная ВФ). Симметрия ВФ не зависит .ни от взаимодействия между
частицами, ни от наличия внешних полей и определяется следующим правилом.
Система тождественных частиц с целым спином - система бозонов -
описывается симметричной ВФ. Система тождественных частиц с полуцелыми
спинами - система фермио-. нов - описывается антисимметричной ВФ. В
нерелятивистской квантовой механике это правило следует рассматривать как
одно из основных положений.
249
Рассмотрим систему из N невзаимодействующих тождественных частиц.
Гамильтониан такой системы имеет вид
1 - 1 i- 1 i
Пусть -ф, (q) есть полная ортонормированная система СФ одночастичного
гамильтониана ft.
Рассмотрим коллектив из N тождественных бозонов. Обозначим через (и,)
произведение функций ф,-, зависящих от координат и спиновых переменных
каких-то определенных /г,- частиц. Порядок расположения сомножителей
безразличен. Произведем упорядоченное разбиение множества из N частиц по
бесконечному числу состояний, первое из которых содержит /гх частиц,
второе "2 частиц и т. д. Число упорядоченных разбиений равно
N \ _ N\ п1п2 ¦¦¦ т...)
Здесь ^tii = N. Мы считаем, что (",•)= 1, если /г; = 0. Базисные
ортонормированные функции для коллектива из N бозонов имеют вид
ф-2и"г.Г"мм-м- 03.1)
В этом выражении числа ",• фиксированы, а суммирование проводится по всем
упорядоченным разбиениям. Функции
(13.1) являются симметричными функциями.
Для двух частиц
ф (чи q-i) = ~ [Ф(tm) Ш Ы+ч>" (qi) (%)].
если тфп. Если m = n, то
Ф(<71, 92) = ФпЫФ"Ы- (13.2)
Нормированная антисимметричная ВФ стационарного состояния системы
тождественных фермионов может быть записана в виде детерминанта,
составленного из одиоча-стнчных ВФ:
Y-p^DetjS^MI. (13.3)
250
Г* -Индекс i - номер строки (1 sgiC- N) - фиксирует состояния, к'; в
которых находятся частицы,. причем индексы а распо-[" ложены в порядке
возрастания (а, < а, < ... < aN). к Индекс k (1 <: k =< N) указывает
номер столбца. Функции, L находящиеся в /е-м столбце, зависят от
координат и спи-новой переменной /е-й частицы. Перестановка двух наборов
г координат (замена qt <-> qj) есть перестановка двух столбцов К.
детерминанта. Она приводит к изменению знака ?. Требо-Г,-ванис
антисимметричности приводит к условию
[:¦ ? (д1( ..., qh qh ..., qNг) = О,
что соответствует равенству двух столбцов матрицы. W Вместе с этим ВФ
обращается в нуль и при равенстве двух строк матрицы (ак - ат). г . ¦
Таким образом, для того чтобы ВФ системы невзаимо-[; действующих
фермионов была отлична от нуля (т. е. чтобы [ состояние было физически
реализуемо), необходимо, чтобы fv'B каждом состоянии ф" находилось не
более одной частицы. |'--.Это требование называется принципом Паули. Оно
спра-Ь'4ведлнво и для состояний системы слабовзаимодействующих
1:;фермионов, которые можно приближенно описывать с ^ Помощью
детерминанта одночастичных ВФ. Для системы К двух фермионов
К- ^ = уг2 [?,< Ы Фп Ы'~ фт Ш (<7i)]- (13.4)
КИ'*'
2. Гамильтониан системы электрически взаимодейст-Ьчьующих частиц в не
релятивистском приближении не зависит К.бт спинов. Поэтому УШ
удовлетворяет каждая из спиновых зиугомпонент ВФ. Полная ВФ может быть
записана в виде
|Г ЧГ = Ф (Г1. Г2, • • •) % (Ои Фг, • • •)•
ЕОднако требования симметрии полной ВФ приводят к неко-Иргорым
ограничениям на координатную ВФ ф(гх, г2, ...), дПюэтому из всех
возможных решений УШ физически может Иыреализоваться лишь некоторая
часть.
К Рассмотрим следствие симметрии для проблемы двух ЖВ^ждествснных частиц.
ВФ может быть записана в виде
I г1г = е(г1 + г2)Ф(г1-г2)х(о1, ст.,).
¦^Функция 6(г! + г2), очевидно, всегда симметрична по отпо-В. Шенпю к
перестановке г, -м- г.,. Для Ф (гх - г2) перестановка ш координат
эквивалентна инверсии системы координат.
К 251
Для частиц со спином 0 спиновый множитель равен единице. Требование
симметричности ВФ при перестановке эквивалентно требованию четности Ф (гх
- г2) при инверсии. Если взаимодействие частиц описывается центральным
потенциалом Т/ (| гх - г2!), то переменные в УШ для функции Ф разделяются
в сферической системе координат. Так как четность состояния совпадает с
четностью орбитального момента, то система двух одинаковых частиц со
спином нуль может находиться только в состояниях с четным орбитальным
моментом I.
Рассмотрим систему двух частиц со спином 1/2. Спиновые ВФ такой системы
были рассмотрены в п. 4.11. Общая СФ операторов S2 и S-, соответствующая
синг летном у состоянию (5 = 0), есть
10, о>=-^{|+-> - | - +>}.
Очевидно, спиновая ВФ нечетна при перестановке частиц. Поэтому в
состоянии с S = 0 Ф (гх - г2) должна быть четной функцией: возможны
только четные значения орбитального момента /. Спиновые ВФ триплетного
состояния
11, !) = ! + +).
\и °>=т^{|+-}+1-+>ь
11,-i>=i+.->.
очевидно, четны по отношению к перестановке координат. Следовательно, в
состоянии с S = 1 орбитальная ВФ Ф (гх - га) должна быть нечетной
