Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
проекция спина на ось z будет иметь определенное значение.
7. При рассмотрении уравнения Паули в п. 10.4 мьг нашли, что в
нерелятивистском приближении частице со спином 1/2 можно приписать
магнитный момент
р = p"s.
Выше мы рассматривали взаимодействие спинового магнитного момента с
внешним магнитным полем. Аналогичным образом можно описывать и
взаимодействие между магнитными моментами частиц.
Если ядро атома обладает магнитным моментом, то при учете взаимодействия
электронов с магнитным полем ядра атомные уровни энергии - вообще говоря,
вырожденные-расщепляются. Такое расщепление называют сверхтонкой
структурой уровней. Рассмотрим сверхтонкое расщепление в атоме водорода.
Оператор взаимодействия имеет вид
V - 2р0 [(Ар) y -f- s<^]. (12.27)
Будем рассматривать ядро как классический точечный матнитный диполь с
моментом р. Вектор-потенциал имеет вид
А =- [р X grad yj.
246
Вводя напряженность поля
<№> - rot А
и используя равенства
rot (А х В) = A div В - В div А+ (BV) А - (AV) В,
div grad у = - 4зтб (г),
для оператора (12.27) получим
р~Ч/ = 4nps8 (г) - ^ ^. (!2.28)
Для отыскания поправки к энергии в первом порядке теории возмущений надо
вычислить среднее значение опе-ji;'" ратора возмущения V по невозмущенным
ВФ. Ограничимся рассмотрением s-случая. Тогда последний член у в (12.28)
обращается в нуль. При вычислении интеграла от второго и третьего членов
следует проявить осторожность, так как интеграл от каждого из этих членов
по отдельности расходится. Однако, учитывая, что
- -= - (pV) (sV) 1, (12.29)
Ps
it.. r3 rb - \V" / ¦ / r
i %•¦
nSi' а интеграл может зависеть лишь от относительной ориен-тации векторов
s, р, можно заменить (12.28) средним по направлениям значением
. т (sV) -J--> I (p's) V* ; . (12.30)
щ. Итак
Щг л 8л ,/л \ " /А. 8 sp
V =~Т Во (sp) фп (0) = о Ро-;Ш
3
S3
Магнитный момент ядра р связан с его спином i соотно-
^•5" шением
Р = РЛ'1
Лу- Таким образом, усредненный по ВФ оператор возмущения
, :v
•л 16 si V =хВоВлг;
3
"¦..-Собственные значения оператора i s вычисляются так же, | , как и для
1 s:
[у. i s ==/ (f -f-1) - i (i -j- 1) - s (s -f-1),
247
где через f обозначен полный момент атома. Так как s = 1/2, то возможны
только два значения f:
f = i± 1/2.
Для атома водорода (i = 1/2) уровень lsi 2 расщепляется на два подуровня,
расстояние между которыми
АЕ = ЦоИр \ (2" + 1) ^ 0,93 • 10-17 эрг (12.31)
о
мало по сравнению с расстоянием между компонентами тонкой структуры (см.
главу 10).
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в классическом случае при движении заряда в поле (12.13)
проекция кинематического момента на направление поля всегда положительна,
в отличие от г-проекции обобщенного момента
1г = ХРу - УРх-
2. Найти коммутационные соотношения для компонент скорости с,-заряда в
однородном магнитном поле.
3. Определить спектр и ВФ заряда в постоянных однородных и взаимно
перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
4. Частица со спином 1/2 находится в переменном магнитном поле При t
- О спиновая функция частицы имела вид
' Х=(! 'а cos(r) ! + ) +е'"а sin б [ - ).
Определить среднее значение проекций спина на оси х, у и зависимость
направления поляризации частицы от времени.
5. Определить спиновую ВФ частицы со спином 1/2 в магнитном поле
sin б cos со/, sincoZ, ^T^^cose.
6. Два протона зафиксированы на расстоянии а в магнитном поле
напряженности Stf, образующем угол 6 с линией, соединяющей протоны.
Определить уровни энергии, рассматривая диполь-дипольное взаимодействие
как возмущение.
7. Магнитное поле создается кольцами Гельмгольца - двумя круговыми
витками проволоки, расположенными-в параллельных плоскостях так, что
центры их находятся на общей оси. Ток J по ним течет в одном направлении,
радиусы колец и расстояния между их центрами -а. Движение вдоль оси колец
ограничено стенками на расстоянии г h от плоскости симметрии (Ь << а).
Используя метод, изложенный в п. 11.3, оценить время жизни
квазистацнонарного состояния электрона, соответствующего низшему уровню
Ландау. Положить J = 1 а, расстояние а'--10- см.
Глава 13
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
0. В классической механике описание движения коллектива частиц в принципе
сводится к определению закона движения каждой отдельной частицы. При этом
совпадение физических параметров частиц не играет принципиальной роли.
Качественно иная ситуация в квантовой механике. Волновой функцией
описывается поведение всего коллектива частиц. Отдельной частице при
наличии взаимодействия нельзя сопоставить ВФ. Если ВФ коллектива
совпадающих по своим физическим свойствам частиц отлична от нуля в
некоторой области, то вопрос о том, какая именно частица может быть
обнаружена в этой области, не имеет смысла. В квантовой механике
совпадение физических свойств частиц приводит к их полной
'неразличимости.
1. Все известные частицы таковы, что ВФ, описывающая коллектив из N
тождественных частиц,
?(<yi, ..., qN),
где Qi означает совокупность координат и проекции спина частицы, при
