Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Елютин П.В. -> "Квантовая механика (с задачами) " -> 59

Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.

Елютин П.В. Квантовая механика (с задачами) — Наука, 1976. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 85 >> Следующая

1т 237
велики по сравнению с характерной длиной Л =
= (ctt/e^ft")1'2.
В этом случае воспользуемся цилиндрической системой координат. Векторный
потенциал выберем в виде
Av = 2fp, лр = лг = 0.
УШ в цилиндрических координатах имеет вид fl" . 52ф . 1 дф 1 cJ-ipN

дг2 д(У' р Зр р- дер-)
_ i -.Clt ^ I е~'^Г2 рйа, _
2 тс дц> + 8тс"-Разделяя переменные, ищем решение в форме
1>(Р. Ф, z)^~=R(p)eik^eim(e. (12.2)
Обозначим через у и р величины
'<=%• (>-?-"• <12-з>
Уравнение для радиальной части ВФ имеет, с учетом этих обозначений, вид
R" + -J-Я' + (Р - У2Р2 - 2 ут - тУ2) R = 0. (12.4)
Введем новую независимую переменную | = ур2. .Тогда
уравнение (12.4) перепишется в виде
* т
ч
где
К = Щ~т2- (12-6)
Легко найти асимптотики функции R (|):
^ -У СО I
g-i/2,
g_*0: Rr^Qmi/z.
Выделяя асимптотики, ищем решение уравнения (12.5) в виде
Я(|) = е-6/2|:(tm)1/М!). (12.7)
Функция w(%) находится из уравнения
lw" -f (14-| т | - I) w' + - L^-iO1 j w = о,
238
ГРГ решение которого представляет вырожденную гипергео-"' " метрическую
функцию
m = |m| + lf g], (12.8)
•Для того чтобы ВФ R (|) обращалась в нуль при g-voo, ~Z первый из
аргументов гипергеометрической функции дол-• жен быть целым
неположительным числом:
f- •n = X-l"J±i. (12.9)
Учитывая уравнения (12.3), (12.6), (12.9), получим окон-Д' нательное
выражение для энергетического спектра:
г- I , 'т\ | т l\ , ti2k2 /lo 1Г1.
bnn,k = h -it (п +~t + 2 + 2 j + Ш- (12Л°)
| . Таким образом, при заданном k спектр заряженной ча-" стицы в
однородном магнитном поле оказывается эквиди-. стантным с расстоянием
между уровнями
Д? = Й(о = Й^.
тс
р.
ff Дискретные уровни, соответствующие движению в пло-. ' скости,
перпендикулярной полю, называются дровнями ; ¦ Ландау. Найденная выше ВФ,
определяемая формулами .-'1" (12.2), (12.7) и (12.8), пригодна для
описания стационар-r-ji'.i ных состояний частицы, движение которой
ограничено ци-/'о'; линдрической поверхностью радиуса R, большого по
срав-нению с характерной длиной Л. Если движение вдоль : " ос!! г
свободное, то k может принимать любые значения ' •/' и спектр непрерывен
в области
Е > - ~
_.Л. 2 •
'^.Спектр становится дискретным, если движение по оси z •Л '. - финитно.
В частности, при наличии стеиок, перпендику-лярных оси 2, возможные
значения k определяются усло-вием
й1:; kz=~n (п= 1,2,3,...).
t I.L
- 3. Рассмотрим магнитное поле, однородное и направ-
: .. ленное вдоль оси г, в прямоугольном потенциальном ящи-V ке с
размерами Lv, /.", L,. Найдем ВФ заряженной части-r . V Цы и ее
энергетический спектр в такой системе. Выберем
Xi. 239
векторный потенциал в виде
Ах = 0, Ау = Жх, Лг = 0. (12Л1)
Гамильтониан Н примет вид
Н = 2т (Px + Pl+Pi) + t2 "2Х2 + Хыру, где использовано введенное ранее
обозначение
"-sac.
тс
Разделяя переменные, ищем ВФ в виде
Ф = JC (*) ехр (Риу -f pzz)j.
Для компоненты /(х) получаем уравнение
_ 3L v'+!!L М2 (х+*у\* (Е_ 3l _ 3\у
2т х ^ 2 03 \Х^ c?f) Х 2т 2т )Х'
Это уравнение совпадает с УШ для гармонического осциллятора (3.32).
Используя результат, полученный в п. 3.11, находим выражение для спектра
и для волновой функции Ф = ехР \~п (РиУ + Р*г) ~ (х + *о)2] X
(ж + А'о)]* (12Л2)
где
сРу
Х°~е^Г-
Учет граничных условий на стенках ящика приводит к тому, что ру и рг
могут принимать только дискретное множество значений
Pi - ftj Щ (",= 1,2,3,...).
Влиянием стенок на компоненту волновой функции %(х) можно пренебречь,
если одновременно выполняются условия
T.v Л,
240
^Отметим, что вид спектра и ВФ не инвариантен относи-Ш тельно перемены х
*-* у, хотя в исходной постановке направления х и у равноправны. Причина
этого, очевидно, связана с выбором векторного потенциала А в виде
(12.11).
; 4. В классической механике проекция траекторий заряда
l b магнитном. поле на плоскость, перпендикулярную полю, Ь.есть
окружность. В квантовой механике плотность вероятности в плоскости,
перпендикулярной полю, может вообще ..не обладать аксиальной симметрией
(12.12). Причина этого
заключается в вырождении состояний заряженной частицы
в магнитном поле с заданной энергией. В классической ЛЖ- механике этому
вырождению соответствует неопределенное ! положение оси симметрии
траектории в плоскости ху.
Рассмотрим классически движение заряда в магнитном поле с векторным
потенциалом-
Ах = -\Жу, Ау = \<%Гх, = (12.13)
2 и 2 ^^Классическая функция Гамильтона имеет вид
н=i [Рх ~ к ж у) +шр1
^•Отсюда следуют гамильтоновы уравнения движения:
*=MPx~e-iry)' P*=-i[p"+-if*
У--^{ру+е-^гх)' Ру-т{р*+е"§-у)> <12Л4>
i . r\
z = - p~, рг - 0.
m r 1
Решение уравнений для x и у имеет вид
J х = г cos (Ы - ф) + хс,
к
? у = г sin Н-ф) + г/0,
(12.15)
Г где х0 и у о - координаты центра окружности. Используя уравнения
(12.14), можно выразить координаты центра х0, Уо через канонически
сопряженные величины (х, рх, у, ру). ^Вычисляя, получим
да.
Ур' Уо - о
Щг' Я -У 4- Рх
У О - о -г
Перейдем к квантовой механике, сопоставляя классическим величинам
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed