Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
пакетов, которые г.рн < = 0 описывались действительными волновыми
функциями.
2. Рассмотреть изменение со временем произведения дисперсий
Ах- • Ар" для пакета, рассмотренного в п. 11.2.
234
3. Пусть при t=0 свободная частица описывалась ВФ
ф (х, 0) = ф (дг) ехр (± ( j,
где ф (х)- действительная четная функция из L2. Исследовать изменение
дисперсии координаты со временем.
' 4. Рассмотреть расплывание волнового пакета
1 а2
ф(х, 0) =
л х2-\-а2'
Меняется ли его форма со временем?
5. На гармонический осциллятор мгновенно накладывается виеш-. иее
однородное поле F. Найти вероятность перехода в п-е состояние,
если при t <С 0 осциллятор находился в основном состоянии.
6. Вычислить в приближении внезапных возмущений вероятность перехода р-
мезона в мезоатоме с Z > 1 при распаде ядра из состоя-ния Is в состояние
2s.
7. Вычислить вероятность того, что частица, находившаяся в 6-- яме,
двигавшейся с постоянной скоростью v, останется в связанном
состоянии при внезапной остановке 6-ямы; зависящий от времени • потенциал
U (х, ?) = - qd> (х - vt) (tcO),
U (х, I) = дд (х) (t >0 ).
8. При каких временах Т применимо золотое правило для пере-*- ходов в
непрерывный спектр (11.36)?
9. Вычислить по теории возмущений коэффициент отражения R (Е) в поле
V (x) = -U0-
'¦Л
х2+а2*
Сравнить с результатом расчета методом ВКБ.
"А - 10. На осциллятор, находившийся при t -> - со в основном состоя-
нии, действует однородное поле, меняющееся со временем по закону
F(t)=F0cbTl{at).
"У,:- Найти вероятности переходов won, не ограничиваясь первым прибли-Г
жением теории возмущений.
11. Показать, что вне зависимости от того, в каком состоянии . -
находился гармонический осциллятор при t -> - с", его средняя энер-fгия
под действием переменного однородного поля
ш
F(t)=Fof(t) (t-*± со, / (0 -> 0) всегда увеличивается.
К* X
V"
й
I
г/ •
Глава 12 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
0. В предыдущих главах мы рассматривали различные случаи движения
частицы во внешних полях, определявшихся потенциалом Д (г), в том числе в
электростатических полях. При этом оператор Гамильтона содержал только
операторы, действующие на пространственные переменные и не затрагивающие
спиновую часть ВФ. Учет релятивистских поправок к УШ, следующих из
уравнения Дирака для электрона, уже в первом порядке по v/c приводит к
необходимости рассматривать взаимодействие собственного магнитного
момента электрона с магнитным полем. Оператор этого взаимодействия .
действует на спиновые ВФ. Таким образом, наложение магнитного поля дает,
в общем случае, способ воздействовать на спиновые состояния частиц.
1. Рассмотрим движение заряженной частицы без спина в электромагнитном
поле. Классическая функция Лагранжа в поле, заданном скалярным
потенциалом ф и векторным потенциалом А, имеет вид
4 о, mv2 , е .
% = -- Av - "р.
В дальнейшем будем полагать ф = 0. Обобщенный импульс определяется
соотношением
дХ . е .
р ==-_ = mv + _A.
В дальнейшем изложении отличие обобщенного импульса р от кинематического
mv будет играть существенную роль. Классическая функция Гамильтона
определяется
236
'соотношением
' // = Pv-i?=i(p-f АГ-
Заменяя, в соответствии с основными положениями, обобщенный импульс на
оператор с коммутационными соотно-|^5 шениями А6, получим выражение для
оператора Гамильтона
1
н=^-тА)- (12Л>
Пусть векторный потенциал А не зависит от времени • (электрическое поле
отсутствует). Гамильтониан (12.1) имеет вид квадрата эрмитова оператора.
Поэтому, в силу ¦ результата задачи 1.15, все его собственные значения
неотрицательны. В реальных случаях на больших расстоя-|! It' ниях от
источников магнитное поле Н стремится к нулю.
.. Поэтому потенциал А мы также можем выбрать обращаю-НJL гщимся в нуль
на бесконечности. Поскольку в этом случае vxSf л 2
^ Н~*ъп
; то волновая функция для состояний с положительными Ж значениями энергии
не будет убывать. Итак, в реальном gy магнитном поле оператор Н не имеет
дискретного спектра ?-;.и движение частицы инфинитно. Следовательно, если
^ область, в которой имеется магнитное поле, не ограничена ^стенками, то
вместо стационарных состояний мы должны говорить о квазистационарных
состояниях. В практических . ситуациях, однако, времена жизни таких
состояний оказываются весьма большими (см. задачу 12.7).
2. Рассмотрим идеализированный случай движения частицы в однородном
постоянном магнитном поле. - В классической механике движение частицы в
области, -где поле однородно, не чувствительно к свойствам поля fZ- вне
этой области. Очевидно, в квантовой механике это не так: в любом реальном
поле плотность вероятности | ф |2 *3^ - не обращается в нуль тождественно
ни в какой области "пространства. Поэтому даже в идеализированной поста-
новке задачи мы должны косвенно учесть правильные граничные условия,
выбрав систему координат в соответ-ч ствии с симметрией реального
магнитного поля.
. -Mr- Пусть магнитное поле имеет аксиальную симметрию и &-рЬ; линейные
размеры области, в которой поле однородно,
