Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
формуле (18.2). Поэтому неудивительно, что группа Uдг играет важную роль
при построении волновых функций для системы нескольких валентных
электронов в атоме. Рассмотрим п валентных электронов, которые находятся
в одночастичных состояниях ц>1т с фиксированным индексом I. Как обычно,
индекс т может принимать значения т - 1, (1-1), ..., -I. В силу
сказанного в § 1 построенные из произведений волновые функции, симметрия
которых относительно перестановок описывается разбиением <х = \п1, пг...]
числа п, будут также преобразовываться по неприводимому представлению
U(a) группы Utl+1 всех унитарных преобразований (21 +1) одночастичных
состояний фгт. Принцип Паули требует, чтобы волновая функция была
полностью антисимметричной по отношению к перестановкам частиц. Но
разбиение а относится лишь к орбитальным координатам. Поэтому разбиение а
необязательно совпадает с разбиением [11... 1], но в комбинации со
спиновой частью волновой функции оно должно давать такое разбиение. Эта
задача уже рассматривалась в гл. 8, § 6.
Унитарная группа Uдг
269
п. Г, а также в гл. 17, § 10, где было показано, что спиновая часть
волновой функции должна преобразовываться по сопряженному, или
ассоциированному, представлению а группы с?п всех перестановок спиновых
координат частиц. (Напомним, что схема а получается из схемы а путем
замены строк столбцами и наоборот.) Но спиновая часть волновой функции
сама является произведением типа (18.2) с N=2, т. е. спиновая часть
волновой функции преобразуется по представлению U<a) группы U2. Поэтому
схема Юнга а имеет не более двух строк. Тогда орбитальное разбиение а
имеет не более двух столбцов (и, конечно, не более 21-\-\ строк).
В § 6 и 7 мы вывели соотношение между представлениями групп U2, SU2 и Яг-
В силу этого соотношения разбиением а определяется спин S системы из п
частиц. Если a=[tt[, п-г\, то 5 = 1/2("i-п2). Значит, индекс а
представления группы U2i+1 задается числами п и S. Поэтому новый индекс а
является в этом смысле излишним. Следующая задача связана с определением
возможных значений полного орбитального углового момента L, который
совместим с заданными числами я и S, Но так как L-индекс представления
группы Я3, наша задача сводится к разложению представления U(a) группы
при ограничении на его подгруппу Э13\
U<"> = 2mLD<4 (18.24)
г
(Коэффициенты mL не следует путать с индексом состояний т.) Но это хорошо
знакомая нам теоретико-групповая задача, которую можно решить различными
способами. В самом деле, мы в гл. 8, § 6, п. Г, совершенно не обращаясь к
группе UN, нашли метод вычисления коэффициентов ть при помощи группы ?7n.
Излагаемый ниже метод основан на системе весов представления U(">.
Пронумеруем наши N одночастичных состояний числами m = l, I-1, ..., I в
соответствующем порядке. Тогда оператор проекции полного углового момента
Lz следующим образом выражается через введенные в § 8 диагональные
операторы Н,-: Lz- 2 mHm. Поэтому его зна-
m=-I
270
Глава 18
чения М просто выражаются через веса представления:
i
М= 2 тгт• Например, в восьмимерном представлении
т- - I
[21] группы U3 система весов (18.21) дает следующее множество значений М:
2, 1, 1, 0, -1, 0, -1, -2. Зная мультиплетную структуру представления
D<L>, т. е. зная,
что M = L, L--1........-L, мы заключаем отсюда, что
в этом случае разложение (18.24) для группы U3 имеет вид U[211 =
D(2)0D(1>. Этот метод существенным образом основан на применении
характеров группы UN, которые мы подробно обсудим в § 11 (см. другой
пример разложения в задаче 18.5). Более эффективный при больших числах I
третий метод вычисления коэффициентов mL объясняется в задаче 18.6.
В качестве примера такого метода классификации состояний рассмотрим
простую задачу о трех /7-электронах, (/=1), которую мы обсуждали в гл. 8,
§ 6, п. Г. В первом столбце табл. 18.2 перечислены возможные разбиения а
числа 7Z = 3, а во втором столбце - сопряженные разбиения а. Заметим, что
разбиение а = [3] должно быть исключено, так как соответствующее
разбиение a = [111] имеет более двух строк. Спин 5 вычисляется
непосредственно по формуле S = 1/2("1 - п2). Угловой момент L
Таблица 18.2
Индекс <х орбитальной Индекс а спиновой симмет-
симметрии и представления группы Us рии и представления группы Uг
S L
ini] [3] 3/2 0
[21] [21] Vs 2, 1
для представления a = [21] был вычислен выше. Тем же способом можно
показать, что одномерное представление
[111] имеет единственный вес (111). Ему отвечает лишь М - 0, и,
следовательно, L - 0.
О применении группы UN для описания атомных муль-типлетов уже говорилось
ранее. Точно так же ее можно применять при изучении ядерных
супермультиплетов,
Унитарная группа Ujу
271
введенных в гл. 12. При этом удобно воспользоваться приведенной в §8
интерпретацией индексов (РР'Р") представлений группы SUi. Мы не будем на
этом подробно останавливаться. Как отмечалось в гл. 12, § 1, зависимость
ядерного взаимодействия от спина столь сильна, что симметрия относительно
