Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Т (!) Ф (е) Т-1 (I)" яу*Ф (1е). (16.60)
Экспериментальные данные для системы электрон - позитрон подтверждают наш
вывод о том, что в случае s = V2 четность античастицы противоположна
четности частицы.
Уравнение Дирака (15.131) написано для одночастичных состояний. В него
входят инфинитезимальные операторы Р, соответствующие трансляциям
векторов состояния. Покажем, что операторы поля Ф(е) удовлетворяют
уравнению Дирака
(7-П-И6)Ф(е) = 0, (16.61)
где ?*=(-V, d/dct) - дифференциальный оператор, действующий на переменные
е. Этот результат прямо следует из определения (16.49). [Нужно оператором
? подействовать на экспоненты и применить соотношение (16.60).] Уравнение
Дирака (16.61)-- это опять уравнение поля, следующее из лагранжиана. В
данном случае плотность лагранжиана, которая приводит к этому уравнению
поля, имеет вид Ф (е) (у- ? + ik) Ф (е). Как и в п. В, такой плотности
лагранжиана соответствует описание, основанное на представлении о
частицах.
Поле нейтрино,
В гл. 15, § 8, п. Д мы, пользуясь представлением U0-!1/*) и уравнением
Вейля, показали, что одночастичное состояние для нейтрино,
соответствующее нулевой массе и т в=-1/2, представляется в
двухкомпонентной[форме. Поэтому мы будем строить двухкомпонентный
оператор поля Ф(е), подобный оператору поля, определяемому равенством
(16.49). Предполагается, что он преобразуется со-
1Р8
Глава 16
гласно равенству
Т(е, [ОФОоТ'Чв, L) = (L<°. ф (Le + e). (16.62)
Поле будет строиться из операторов рождения нейтрино а+ (к-) и операторов
рождения антинейтрино Ы(к + ). Знак минус в обозначении оператора а+
напоминает о том, что для нейтрино т - -1/2. Нейтрино преобразуется по
представлению Р(0' -1/*>, согласно равенству (15.68) или равенству
(15.144). Антинейтрино мы приписываем положительную спиральность, но это,
как мы увидим, необходимо для того, чтобы поле удовлетворяло условиям
инвариантности и причинности. Положим
Ф" (е) = (2 л)-8/* ^ kf^dk wa (к) {а (к-) exp (-ik-eJ-f-
H-bt (k-f) exp (ik-ё)}. (16.63)
Мы покажем, что коэффициенты w, которые в данном случае являются 2х 1-
матрицами, определяются вторым столбцом матрицы L(°. '/*) (RXJ,Q*), где
- преобразо-
вание Лоренца, которое задавалось в гл. 15, § 4, п. Б как преобразование,
переводящее вектор (0, 0, 1, 1) в вектор к. Выбор такого выражения
оправдан тем, что, применяя соотношение (15.144) для преобразования
частиц к уравнению (16.63), получаем
Т (е, L) Фа (е) Т-1 (?, L) = (2л)-'/> J кТ1 dk wa (k) X X {exp (- ik' • e
- ik - e) ЬЩЛВД)-1 LRxyQz]*a (k'-)+ + exp (ik' • e + ik • e) Ufa?
[(R^Q^"1 LR^Q J b+ (k' +)}.
(16.64)
Представляя вектор w (k) в виде второго столбца матрицы L(0'i/2>: w (k) =
L<°* */." (R*,Q,) (j), мы в силу унитарности преобразования (15.144)
имеем w (k) х
X [(R^o;)"1 LR^QJ* = {LO. V*) (R^QJ L(". V*) [(R^Q,) -i X
X L^R^Q*]} (j'j = L<0' */") (L-1) w (к'). Здесь мы воспользовались тем,
что Lw' - "/z [(R^i/Qz)-1 LR^^Q^] = 0 [см. текст после формулы (15.144)].
Поскольку представления L(1/2' 0) и |_<0' */")* эквивалентны (гл. 15, §
2, п. Д), подобное же
Частицы, поля и античастицы
199
соотношение справедливо и для второго члена равенства
(16.64): w (k).L<vi*v,e) [(адГ1 LR^Q,] = L<°. v.) (L-1) w (к').
Подставляя оба эти выражения. в равенство (16.64) и производя замену
переменной интегрирования к' -к, приходим к желаемому результату (16.62).
Так же как и в предыдущих примерах, поле Ф(е) удовлетворяет
соответствующему уравнению поля. В данном случае это уравнение Вейля
(15.146):
(5'у-^ж)фй=0.
Плотность лагранжиана для свободного поля нейтрино равна
^ = фт(е)(8-?-4г^)ф(ё)-
Заметим, что поле Ф+ преобразуется по представлению U1/,. °) и оператор
Вейля является компонентой четырехмерного вектора W + imP. Довольно
удивительно, что для инвариантности плотности не требуются другие
компоненты. Но как объясняется в тексте, следующем за формулой (15.145),
это обусловлено особой формой с оотношений между этими компонентами.
Хотя нейтрино не имеет электрического заряда, мы можем, как и в п. Д,
ввести оператор Q разности между числом нейтрино и числом антинейтрино.
Он называется оператором "лептонного заряда". Если аналогичный заряд
приписать электронам и мюонам, то можно доказать экспериментально, что
такой лептонный заряд сохраняется подобно электрическому заряду. Это
можно продемонстрировать на примере Р-распада п -*р-\-е-\-х нейтрона на
протон, электрон и антинейтрино v. (Более тяжелым частицам пир
приписывается нулевой лептонный заряд.) Сказанное подтверждается многими
экспериментами. Например, процесс v-f-л-р-\-е не наблюдается, но
наблюдается процесс v-f-р->-п-\-е, где е-антиэлектрон (т. е. позитрон).
Отметим, что более тяжелые частицы, подобные нуклонам пир, образуют
семейство частиц, называемых "барконами", с барионным зарядом +1. Еарион-
ный заряд-еще один пример сохраняющегося заряда.
200
Глава 16
В гл. 15, § 7, п. В мы видели, что пространственная инверсия меняет
спиральность, т. е. изменяет знак величины т. Поэтому поле нейтрино не
