Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 69

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 138 >> Следующая

(kms) рождения частиц со спином s==V2 и операторы b+ (kms) рождения
194
Глава 16
соответствующих античастиц. Итак,
Фа (ё) = ?V"(2n)-3i*\krldk 2 {"аms (k) a (kms) exp (-ik • e)+
ms
+ Vams (k) b+ (kmj) exp (ik • e)}, (16.49)
где взят обычный нормировочный множитель, а коэффициенты и и v подобраны
так, чтобы поле преобразовалось согласно соотношению (16.47) и
удовлетворяло требованиям причинности. Рассматривая величины и и v как 4
х2-матрицы, мы покажем, что они имеют вид
Л /L(V..o)(Q)\ л /_ l<V"-°)(Q)\/ 0 1\
u[(k) = '/s)(Q)/' v(k)==(4 L<0' V2) (Q)- 1 о/
(16.50)
где буст Q, от которого зависят 2х2-матрицы L, переводит вектор (0 0 0 1)
в вектор к [формула (15.125)]. [В самом деле, два столбца матрицы и (к) -
это столбцы двух одночастичных состояний |к±>, определяемых формулой
(15.135 а).]
Для доказательства того, что поле Ф преобразуется требуемым образом, мы
должны воспользоваться известными трансформационными свойствами (15.59)
состояний, соответствующих частицам и (античастицам): I (в, L) а+ (kms)
Т-1(е, L) = ехр (ik - е) 2 ( R')^ (к'т[).
m's 5
Здесь k' = Lk и R' = Q'-1LQ, согласноформуле[(15.60), где
Q' - буст для вектора к'. Переходя в этом равенстве к эрмитово-
сопряженным величинам, в силу унитарности матрицы D получаем Т (е , L) a
(kms) Т-1 (е , L) = = ехр(-ik '• в) 2 Dm^n' (R,_I) а (^'тд- Для
преобразова-
m's
ний поворота D'/2 = L('/2. о)_ цо, >/"). Поэтому нашу матрицу можно
представить в виде произведения матриц:
D<'/2) (R'-1) = L('/s. о) (Q-i) L<V*> °) (L"1) L<V.. °> (Q') =
(16.51)
= L<o- V.> (Q-1) L<°* */,) (L-1) (!_">• */," (Q'). (16.51a)
Частицы, поля и античастицы
195
Тогда из соотношения (16.49) следует выражение
T(e,L) Фа(е) Т ДеД) = к'1* (2л)-а/^ йу^к^ехр (-,ik' е -
ms
г к' • е[и (к) D(1/2)(R'~1)]C?m'a(k,ms) + ехр (tk'-e + ik -е) X
где мы опять воспользовались унитарностью матрицы D
соотношений (16.50) и двух равенств (16.51) выражения для матриц uD и vD*
значительно упрощаются:
Здесь матрица М взята в форме (15.128). Матрицы
I = ioy нужны для преобразования матрицы D*
в матрицу D. (Согласно сказанному в гл. 7, § 7, такие представления
эквивалентны.) Подставляя теперь выражения (16.53) в равенство (16.52) и
переходя затем от переменной интегрирования к к переменной к', получаем
желаемый результат (16.47). Заметим, что наш вывод справедлив и в том
случае, если первые две строки матрицы v в равенстве (16.50) не берутся
со знаком минус. Но такой выбор знака гарантирует соответствие принципу
причинности. В этом можно убедиться, вычислив, как в п. Г, антикоммутатор
полей Ф+ (е) и Ф(е').
Интересным следствием структуры поля Дирака является то, что внутренняя
четность частицы должна быть противоположна внутренней четности
античастицы. Этим поле Дирака отличается от случая нулевого спина, где
обе четности совпадали. Прежде чем подробно останав-
x[v(k)D<'/,>* (R,-1)]am' b+ (k'm's), (16.52)
(Vs) (Vs)*
и записали ее в виде Dm-'ms(R') = Dm~m> (R'-1)- С учетом
(16.53)
196
Глава 16
ливаться на поле Дирака, обратимся на время к случаю нулевого спина.
Пусть Т (I) - унитарный оператор, соответствующий пространственной
инверсии I. Обозначим через л внутреннюю четность частицы. Из соотношения
(15.87) следует, что Т(1)а+ (к) Т-1 (I) = ла+ (1к), Т(1)а(к)х XT-1 (I) =
яа(1к). Обозначим внутреннюю четность античастицы через я'. Тогда Т (I)
Ь>т (k)T-1(l) = n'bt(lk). Если потребовать, чтобы поле Ф имело
определенную четность, то
Т (I) Ф (е) Т-1 (I) = ± Ф (1е). (16.54)
Из определения (16.44) поля Ф и свойств операторов а и Ь+ следует, что
равенство (16.54) справедливо лишь при л = я'. В этом случае
Т (I) Ф (е) Т-1 (1) = яФ (1е), (16.55)
т. е. четностью частицы задается четность поля. Для л-мезонов четность л
= - 1 и поле нечетно. (Просим извинить нас за двоякое использование
символа л в одном предложении!) В этом случае наше скалярное поле
называется псевдоскалярным.
Возвращаясь к полю Дирака, мы должны начать с преобразования инверсии для
состояний, соответствующих частицам:
Т (I) at (km,) Т-1 (I) = net (Ikm,). (16.56)
Будем считать, что
Т (I) bt (km,) Т-1 (I) = л'Ы (Ikm,). (16.57)
Напомним (гл. 15, § 8, п. Г), что оператор инверсии в четырехкомпонентном
пространстве представляется матрицей yt. Поэтому мы потребуем, чтобы
поле, имеющее определенную четность, удовлетворяло соотношению
Т (I) Ф (ё) Т-1 (I) = ± у*Ф (1е), (16.58)
где Ф(е) - опять вектор-столбец. Но, подставляя выражения (16.56) и
(16.57) в равенство (16.49), получаем
Т (I) Фа (ё) Т-1 (I) = (2л)-V, J kr'dk 2 {Wк) ла (Ikm,) X
ms
хехр(-ik¦ е) -f- vams(к) n'bt(Ikm,)exp(ik-e)}. (16.59)
Частицы, поля и античастицы
197
Чтобы связать это выражение с полем Ф(1е), произведем замену переменной
интегрирования 1к -к. Воспользуемся также свойством u (Ik) s= ytu (к),
которое вытекает из явного вида (15.135а) матрицы и (к). Аналогично v
(Ik) = s=-Yjv(k), и, так как знак здесь другой, соотношение (16.59)
сводится к виду (16.58) лишь при л' = - я. В этом случае
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed