Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
называются "теоремой о спине и статистике".
Д. Античастицы
Заметим, что рассматривавшееся эрмитово поле Ф = = Ф4-Ф+ - это
единственная (с точностью до фазового множителя) линейная комбинация
полей ф и ф+, удовлетворяющая условию причинности. Более общее неэрмитово
поле можно построить лишь с помощью нового оператора поля , который
подобно оператору ф+ задается равенством (16.33), где вместо операторов
а+(к) стоят операторы Это операторы рождения частиц,
так же как и раньше, преобразующихся при преобразованиях Пуанкаре, но
отличающихся другими, внутренними свойствами, такими, как еще не
определенные заряд или гиперзаряд. Предположим, что для новых частиц
операторы Ь+ и b удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям
(16.27)-(16.29), что и операторы а+ и а, и будем считать, что все новые
операторы коммутируют со всеми старыми операторами. (Для частиц с
полуцелым спином нужно пользоваться антиперестановочными соотношениями.)
Тогда можно, как и в п. Г, показать, что неэрмитово поле Ф, определенное
соотношениями
Ф = Ф + Х+, Фт=ф+ + Ь (16.44)
удовлетворяет условию причинности. Новые частицы называются античастицами
по отношению к старым частицам.
Плотность лагранжиана простого вида можно построить подобно плотности
(16.38),! где для эрмитовостиЗплот-рости член Ф2 заменен членом Ф+ Ф.
Тогда выражения
Частицы, поля и античастицы
187
для операторов Н и Р будут такими же, как и раньше, если не считать
добавочных членов, содержащих операторы Ь вместо операторов а. Кроме
того, появляется новая сохраняющаяся величина
Q = i J dK(ti>t(D-Ф1-Ф),
которая следующим образом выражается через операторы а и Ь:
Q = ^ [а+ (к) а (к) - Ь>т (к) b (к)] kj1 dk.
Это оператор разности числа частиц и числа античастиц. В одночастичном
состоянии j к> среднее значение оператора Q равно <к ] Q ) к> = 1, а в
состоянии с одной античастицей <Q> = -1. Оператор Q однозначно различает
частицы и античастицы. Если частицы и античастицы-• это я+- и я "-мезоны,
то наш оператор можно использовать в качестве оператора электрического
заряда поля. Если же поле описывает нейтральные К0- и /("-мезоны,
различающиеся тем, что первый из них имеет гиперзаряд 1, а второй -1, то
оператор Q представляет собой оператор гиперзаряда. Для поля К±-мезонов,
которое обладает как электрическим зарядом, так и гиперзарядом, оператор
Q может соответствовать одновременно обоим зарядам. (При наличии
нескольких разных частиц выражение для оператора Q становится более
сложным, чем приведенное выше, и содержит добавочные члены, отвечающие
другим частицам.) В данной ситуации выражения для операторов
электрического заряда и гиперзаряда будут, естественно, различаться. Но
кроме этих двух зарядов существуют и другие "заряды", такие, как число
барионов или число лептонов (гл. 11, § 3).
Заметим, что по отношению к оператору Q поле Ф имеет очень простые
свойства: оператор Ф+ повышает, а оператор Ф понижает величину заряда Q
на единицу. В результате заряд может сохраняться даже в случае
лагранжиана, содержащего члены взаимодействия. Этого можно добиться путем
добавления к плотности $ произведения некоторой степени поля Ф на
соответствующую степень поля, имеющего противоположные свойства по
188
Глава 16
отношению к оператору Q. Закон сохранения заряда связан с внутренними
свойствами частицы. Тем не менее, вводя преобразование Ф-i-UCDU'1, где U
= exp(ieQ), можно связать сохранение заряда с преобразованиями поля
подобно тому, как сохранение импульса связано с трансляциями. Поскольку
поле Ф уменьшает значение оператора Q на единицу, мы имеем [Q, Ф] = - Ф,
и, следовательно, наше преобразование дается соотношением Ф ->¦ ехр (-
?е)Ф, т. е. состоит в изменении фазы на постоянную величину. Такое
преобразование называется калибровочным (см. также § 1, п. В). Оператор Q
служит инфинитезимальным оператором для преобразования U подобно
оператору Р для преобразований трансляции. В действительности из
инвариантности лагранжиана относительно преобразований такого типа всегда
следует закон сохранения заряда. Более того, с инвариантностью связан
"сохраняющий ток", который в рассмотренном примере определяется как
четырехмерный вектор:
j = i {(v(r)+) ф-Ф+ (^Ф)}, \t = - i {ф+ф-Ф1-Ф}.
Пользуясь уравнением Клейна - Гордона, легко убедиться, что v-j-}-djf/d^
= 0. Именно из-за этого равенства ток называется сохраняющимся.
Проинтегрируем его по всему трехмерному пространству и воспользуемся
теоремой Гаусса: J у • j dV = J j-dS. Будем считать, что ток j при
больших г убывает быстрее, чем г-2. Тогда поверхностный интеграл
обращается в нуль и (d/dt) ]t dV = 0. Это-закон сохранения заряда, так
как, сравнивая с приведенным выше выражением для заряда, мы находим, что
Q-Si * dV-
Наиболее хорошо изученной античастицей является, вероятно, позитрон-
положительно заряженная частица с массой, равной массе электрона. Поэтому
ее рассматривают как антиэлектрон. При высокоэнергетических столкновениях
