Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 65

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 138 >> Следующая

Может'показаться, что некоторые наши рассуждения следуют по замкнутому
кругу. Поэтому мы подведем краткий итог изложенному выше относительно
квантованных полей. В гл. 15, § 4 мы классифицировали все возможные
частицы по неприводимым представлениям группы Пуанкаре. Затем, пользуясь
операторами рождения и уничтожения для частиц с нулевым спином, построили
оператор скалярного поля rpf(e), который преобразуется согласно
соотношению (16.32). Из таких операторов мы построили лагранжиан, а также
гамильтониан, собственные векторы которых соответствуют состояниям с
определенным числом частиц. При этом мы не опирались ни на вариационный
принцип (§ 1, п. А), ни на уравнения поля, которые, как показано в § 2,
п. Б, следуют из этого принципа. Если же мы напишем уравнение поля
(16.21) для операторной плотности лагранжиана (16.38), то получим
дифференциальное уравнение
(?2-И2)Ф(ё) = 0.
184
Глава IB
Это известное уравнение Клейна -Гордона, с которым мы уже встречались в
гл. 15, § 8, п. В в связи с волновыми функциями частиц. Здесь же оно
появляется в другой роли, как условие для операторов поля. Из выражения
(16.33) для оператора Ф+(е) следует, что оператор Ф (е) в самом деле
удовлетворяет такому уравнению поля и, следовательно, удовлетворяет
вариационному принципу. (Отметим сходство наших рассуждений с тем, что
говорилось об уравнениях для волновых функций частиц в гл. 15, § 8.) При
наличии взаимодействий уравнения поля играют более существенную роль.
Г. Причинность и теорема о спине и статистике
В классической релятивистской теории ни частица, ни какой-либо сигнал не
могут двигаться со скоростью, превышающей скорость с. Поэтому
квантовомеханические измерения в двух пространственно-временных точках е
и е' должны быть независимы друг от друга, если разность векторов е-V
пространственно-подобна, т. е. если |г-г'| > c\t - t' |. Данное положение
называется микроскопической причинностью. Математически независимость
величин в квантовой механике выражается в том, что соответствующие
операторы коммутируют между собой, т. е. должно выполняться условие
[Q(e), Q(e>)] = 0, (16.41)
если вектор е' - е пространственно-подобен, a Q(e) есть оператор
некоторой наблюдаемой в точке е. Подобно операторам Ж и 5% в равенствах
(16.39) операторы Q (е) обычно задаются в виде квадратичных комбинаций
полей и их производных. Поэтому условие причинности (16.41) будет
выполнено, если операторы поля в пространственно-разделенных точках
коммутируют или антикоммутируют между собой. Проверим сначала,
удовлетворяет ли такому условию рассматривавшийся в п. В оператор поля ф
= Ф +Ф+. В силу равенства (16.27) и определения (16.33)
Частицы, поля и античастицы
185
получаем [ф^е), Ф+(е')] = [ф(е), ф(е')] = 0. Значит,
[Ф(е), Ф(е4')] = [ф (е), Ф+(0] + [ф+(е)> ф(е')] =
= Y kj'k'f1 dk dk' {exp [i (k'-e-k-e)]-
-exp [t (k • e-k' • e')]} kt8 (к - к') (2я)_3 =
= i ^ kr1 dksin{k-(e' - е)}(2я)~3. (16.42)
Интеграл, очевидно, зависит только от разности е'-е. Более того, он
зависит лишь от "длины" [с2 (t' - t)2 - - |г' - г|2]'/2 вектора е'-е. В
доказательство этого достаточно сослаться на то, что любую другую
разность с той же "длиной" можно представить в виде L(e' - е), где L -
преобразование Лоренца. Но k-L(e'-е) = = L-1k-(e'-е). Тогда в силу
инвариантности элемента объема kj1 dk (гл. 15, § 4, п. Г) интеграл
(16.42) не меняется при замене вектора е'-е вектором L(e' - е). Поэтому
если интеграл (16.42) обращается в нуль для одного пространственно-
подобного вектора, то он будет равен нулю для всех(r)пространственно-
подобных векторов той же "длины". Проще всего рассмотреть случай, когда
Тогда мы получаем простое выражение
[Ф(е), Ф(е')] = - i J ?f-1dksin{k-(r'-г)}(2я)~3, (16.43)
которое равно нулю, поскольку мы интегрируем по всему трехмерному
пространству векторов к нечетную функцию (синус).
Итак, поле Ф удовлетворяет условию причинности. Оно описывает частицы с
нулевым спином и с симметричными многочастичными состояниями, т. е.
частицы, операторы рождения и уничтожения которых удовлетворяют
перестановочным соотношениям (16.27)-(16.29). Если мы выберем поле Ф,
соответствующее частицам с нулевым спином и с антисимметричными
многочастичными состояниями, т. е. с антиперестановочными соотно-
шениями|вместо соотношений (16.27)-(16.29), то, повторяя наши
рассуждения, мы получим в равенстве (16.43) косинус вместо синуса. Тогда
наш интеграл в нуль не
186
Глава 16
обращается и условие причинности не выполнено. Таким образом, предполагая
условие причинности, мы приходим к заключению о том, что частицы с
нулевым спином не могут подчиняться статистике Ферми, т. е. их волновые
функции не могут быть антисимметричными. Проведенные выше рассуждения
можно обобщить на случай любого целого спина. Вывод остается таким же. В
случае полу-целых спинов в перестановочных соотношениях изменяется знак,
и мы приходим к заключению, что статистика Бозе, соответствующая
симметричным состояниям, противоречит причинности. Такие выводы
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed