Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
<0 | [а(к), а+ (к')] 10> = <0 | а (к) а+ (к') 10> = <к | к'>,
т. е. в вакуумном состоянии мы имеем
[а (к), а+(к')]= <к|к'>. (16.29)
На основании равенства (16.26) можно показать, что это перестановочное
соотношение справедливо вообще, а не
Глава 16
только в частном случае вакуумного состояния. При выборе нормировки
(15.81) это соотношение принимает вид
[а (к), а+ (к')] = &(6 (к-к'). (16.29а)
Теперь физические операторы можно выразить через операторы рождения и
уничтожения. Например, оператор, не меняющий числа .частиц, должен
содержать одинаковое число сомножителей из операторов а и операторов а*.
В частности, оператор числа частиц дается выражением (задача 16.5)
N = ^ai(k)a(k)kT1dk. (16.30)
Как и в гл. 15, § 4, п. Г, область интегрирования охватывает все векторы
к фиксированной длины (массы), компонента kt которых положительна, т. е.
kt = (&2 + | k I2)1/*.
В силу симметрии преобразования Пуанкаре не должны изменять число частиц.
Значит, если считать вакуум единственным, то он должен быть инвариантным.
Поэтому оператор рождения а+ (к) должен преобразовываться как
одночастичное состояние, т. е. в соответствии с равенством (15.59). Это
легко доказать на основании равенства (16.26). В рассматриваемом здесь
случае нулевого спина
Т (е, L) а+ (k) Т-1 (е, L) = exp (ilk - в) а+ (Lk). (16.31)
На случай фермионов, когда вместо симметричных волновых функций должны
рассматриваться антисимметричные, результаты этого пункта переносятся
путем простой замены коммутатора [А, В] = АВ - ВА антикоммутатором [A,
BJ+ = AB-f-BA. В необходимости такой замены можно убедиться при переходе
от равенства (16.26) к равенству (16.27).
Б. Операторы полей
Найдем линейную комбинацию операторов at (к), которой соответствует
рождение частицы не в состоянии |к>, а в точке е пространства-времени.
Этот новый оператор мы обозначим символом cpt (е) и будем называть
оператором поля. По определению преобразованный оператор
Частицы, поля и античастицы
179
должен быть оператором в преобразованной точке Le, т. е. мы потребуем,
чтобы выполнялось равенство
Т(е, L) ф+ (е)Т-1 (е, L) = ф+ (Le + e). (16.32)
На основании свойства (16.31) легко убедиться в том, что необходимая
линейная комбинация операторов а+ (к) имеет вид
Ф+(е) = J ехр (гк- е) at (к) ftp1 dk (2л)~ч°2-'/к (16.33)
Здесь взят обычный нормировочный множитель. Проверка проводится просто:
Т(е, L)q>+ (е) Т"* (S, L) =
= J ехр [i (к • е + Lk • е)] а+ (Lк) ftp1 dk (2 я) -!5/*2'~Ч" =
= J ехр [iLk-(Le-f-e)] a1 (Lk) ftp1 dk (2n)-s^2~'l2 =
= J ехр [tk • (Le + е)] а+ (к) ft-1 dk (2я)- 3?*2~*/. =
= <pt (Le-f-e).
Здесь мы перешли к новой переменной интегрирования, а именно Lk -^ к, и
воспользовались инвариантностью элемента объема kjldk (гл. 15, § 4, п.
Г). Вспоминая изложенное в § 2, п. А, можно сказать, что операторы Ф+(е)
описывают скалярное поле. [В формулу (16.32) входит вектор Le вместо
вектора L~*e, фигурирующего в § 2, п. А. Это объясняется тем, что ф+ (е)-
оператор, а величина Ф (е) в § 2, п. А есть значение классического поля в
точке е.]
В случае ненулевого спина можно совершенно аналогично построить операторы
поля фи (е) с несколькими компонентами а, которые преобразуются так:
Т(ё, L) Фа (е)Т-1 (e, L) =^M^(L) ФР0-е + 8), (16.34)
Р
причем М - представление группы Лоренца. Это равенство означает
возможность факторизации преобразования индексов а и аргументов полей, т.
е. матрица М не зависит от вектора е. (О такой же факторизации говорилось
в связи с уравнением Дирака в гл. 15, § 8, п. Г.) Значит,
180
Глава 16
в случае массивной частицы со спином s==1/2 поле типа
(16.34) должно иметь четыре компоненты. Случай ненулевого спина мы
кратко рассмотрим в п. Ж.
В. Физический смысл операторов поля
Прежде чем продолжить анализ следствий симметрии для квантовых полей, мы
продемонстрируем, каким образом используются в физической теории
операторы поля.
Обычно в квантовой механике операторы, представляющие физические
наблюдаемые, не зависят от времени, а эволюция системыI во времени
описывается волновой функцией. Но нужно иметь в виду, что можно
пользоваться также волновой функцией, которая от времени не зависит.
Тогда эволюция системы во времени будет определяться явной зависимостью
операторов от времени. Первый способ описания называется шредингеровской,
а второй-гейзенберговской картиной. В релятивистской квантовой механике
более удобна гейзенберговская картина, поскольку релятивистскую
инвариантность легче определить для операторов, зависящих от четырех
координат х, у, z и t. Отсутствие зависимости волновой функции от времени
не является каким-либо недостатком схемы. Волновой функцией определяются
"начальные условия" задачи. С математической точки зрения гамильтониан Н
(р, г) в шредингеровской картине-это функция координат г и импульсов р,
причем уравнение движения имеет следующий вид:
Н(р, г)ф(г, /) = 1Й~ф(г, t). (16.35)
Формально гейзенберговская картина получается путем введения
