Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
действует на другую заряженную частицу, то мы имеем взаимодействие между
двумя частицами. Хорошо известно, что движение частиц на малых
расстояниях должно описываться квантовой механикой и в соответствии с
принципом неопределенности неизбежна некоторая неточность описания.
Поэтому при исследовании движения частицы в поле возникает несоответствие
между квантовомеханическим описанием частицы и чисто классическим
описанием поля. Значит, мы должны ввести квантовое описание поля. Для
этого заменяют поле оператором поля и рассматривают матричные элементы
последнего, как это сбычно делается в квантовой механике. Оператор поля
представляет собой линейную комбинацию так называемых оператора рождения
и оператора уничтожения квантов поля. Следовательно, в дополнение к
частицам, взаимодействующим с помощью поля, мы вводим новые частицы-
кванты поля. Например, фотон - это квант электромагнитного поля, а л-
мезон есть основной квант поля ядерных сильных взаимодействий. Введение
операторов рождения и уничтожения частиц-это не просто математический
прием. Такие процессы рождения и уничтожения обычны как для безмассовых
фотонов при излучении света, так и для массивных частиц, подобных я-
мезону, при высокоэнергетических столкновениях протонов р-\-р -/? + ц +
л°. Рождение массивной частицы не противоречит инвариантности системы
относительно преобразований Пуанкаре (задача 16.4). В общей теории сами
взаимодействующие частицы тоже должны рассматриваться как некие поля.
176
Глава 16
Поэтому в указанном[примере должен иметься механизм, допускающий рождение
большего числа протонов и, я-ме-зонов, и такие, процессы экспериментально
наблюдаются.
А. Вторичное квантование
Рассмотрим теперь алгебраический-' аппарат, необходимый для описания
процессов рождения и уничтожения частиц. Мы уже отмечали в гл. 8, § 6, п.
Б, что волновые функции совокупности тождественных частиц либо полностью
симметричны, либо полностью антисимметричны по отношению к перестановкам
частиц. Установлено, что волновые функции частиц с целым спином
(называемых бозонами) симметричны, а частиц с полуцелым спином
(называемых фермионами)-антисимметричны. О такой закономерности
говорилось также в гл. 5, § 9, и мы объясним эту связь между значением|
спина и симметрией, т. е. статистикой, в п. Г. В силу полной
симметричности или антисимметричности волновых функций, а также в силу
симметрии всех физических операторов нумерация частиц не имеет
физического значения и служит лишь для выявления этой полезной симметрии.
Поэтому неудивительно, что можно построить теорию, в которой номера
частиц вовсе не фигурируют, а симметрия обеспечивается определенными
правилами умножения операторов рождения и уничтожения частицы.
Для простоты и для определенности рассмотрим случай бозонов со спином,
равным нулю. Изменения, необходимые в случае фермионов, мы отметим в
конце. На случай частиц с ненулевым спином все обобщается
непосредственно. Полное множество одночастичных сост ояний для частиц
заданной массы М = %к/с обозначим векторами | к>, где длина k
четырехмерного вектора к фиксирована. Симметричное состояние п частиц
можно обозначить вектором состояния | к1; к2, ..., к">, где множество п
аргументов кг- описывает п состояний, занимаемых частицами (аргументы не
обязаны быть все различными). Состояние, в котором нет частиц, называют
вакуумом и обозначают вектором 10>. Он нормирован: <0|0>=1. (Обозначение
вакуума 10> не следует путать с вектором I к> одночастен -кого состояния;
согласно сказанному в гл. 15, § 7, п. А,
Частицы, поля и античастицы
i77
равенство к = 0 невозможно для частицы.) В рассматриваемом нами векторном
пространстве (называемом пространством Фока) целое неотрицательное число
п не фиксировано и может принимать любые значения. Поэтому мы должны|
рассматривать число частиц как оператор N, который в общем случае не
обязан быть диагональным, причем число п-это собственное значение
оператора N в состоянии с п частицами. Для [того чтобы работать с таким
большим векторным пространством, мы должны ввести операторы, связывающие
подпространства с разными числами п. Простейший такой оператор,
обозначаемый символом а+ (к), обладает следующим свойством:
а+ (к)[0> =|к>. (16.25)
Он называется оператором рождения частицы в состоянии |к>. На более общем
состоянии с п частицами он определяется равенством
а+ (к) ] кхк2 ... к"> = С | ккхка ... к">. (16.26)
Значение нормировочного множителя С для нас несущественно. В силу
симметрии волновой функции из равенства (16.26) следует, что
[а+ (к), а+(к')] = 0. (16.27)
Оператор а (к), эрмитово-сопряженный оператору а+(к), должен уменьшать
число частиц на единицу. Он называется оператором уничтожения. При
действии на вакуум он дает нуль: а(к)|0> = 0. Переходя в уравнении
(16.27) к сопряженным операторам, получаем
[а(к), а(к')]=0. (16.28)
Как нетрудно убедиться, коммутатор операторов рождения и уничтожения
удовлетворяет соотношению
