Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
L(/,,/D(g)Lt/,,/*) = S (15.37)
j, j*
где |/i - j2\<J <(/i + /2) и I/] - /;(</' <(/[ + /;).
Физическая группа вращений Э13 является подгруппой группы Лоренца '??, и,
следовательно, представление 1_(ь >"> при сужении с ? на должно
разлагаться на сумму неприводимых представлений D1-7'. Соответствующее
правило выглядит так:
!_</./') = 2 D1-7". (15.38)
I /-/' \ <J< U+i')
Формулу (15.38) можно без труда вывести в два этапа. Во-первых, из
равенства (15.37) следует, что L(',o)0 0L<0' i') = LU. Л. Но в
представлении V1'0> операторы Bq = 0 и, следовательно, Xq = Aq . Таким
образом, для вращений l_Y'>0) s= Точно так же, если ограничиться
вращениями, то L<0> /') = D(/'>. Отсюда с учетом формулы
94
Глава 15
(7.44) получаем соотношение (15.38). Например, L(1^' 1/г)= = D(1)0D(o).
Так и должно быть, поскольку сами
4 х 4-матрицы преобразований Лоренца образуют представление L(1/=' Y"), а
четырехмерное пространство распадается на трехмерное пространство,
являющееся пространством представления D(1) группы вращений, и время,
инвариантное относительно вращений.
Отметим также, что если в случае группы Э13 представление, комплексно-
сопряженное с представлением Ьи\ эквивалентно ему с заменой базиса е^ =
(-iy'~m ет (в тех же обозначениях что и в гл. 7, § 4, п. Б; см. также §
7), то представление, комплексно-сопряженное с представлением L</'- i'>,
эквивалентно представлению L(/'- й. Таким образом, представления 1Л-
эквивалентны комплексносопряженным представлениям лишь при / = /'. Это
утверждение следует непосредственно из формулы (15.33). Однако здесь
нужно проявлять осторожность и отличать оператор Aq в комплексно-
сопряженном представлении- мы обозначим его через (А3)*-от оператора AJ,
комплексно-сопряженного с оператором Aq. В комплексно-сопряженном
представлении операторы Xq и У9 переходят в х; и Y*, так что {Aq)* = X* +
iV*q = {Xq-iYq)* = B*q. Так как представления Dl'> группы 5?3
действительны, т. е. эквивалентны своим комплексно-сопряженным, последняя
формула приводит к замене / на /' и наоборот.
Заметим также, что представления L</> /,) не унитарны. Для унитарности
необходимо, чтобы инфинитезимальные операторы были антиэрмитовыми, т. е.
имели мнимые собственные значения. Но, как мы видели в гл. 7, § 4 при
обсуждении группы 5?3, операторы Aq и В? антиэрмитовы, и из равенств
(15.33) следует, что операторы Xq антиэрмитовы, тогда как операторы Vq
эрмитовы. Таким образом, независимо от выбранного базиса наши
конечномерные представления группы Лоренца не унитарны. Тривиальное
представление L(0,0)=l является, естественно, исключением.
5 3. ГРУППА ЛОРЕНЦА С ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ОТРАЖЕНИЯМИ - ГРУППА Xs
Добавление к группе 913 пространственной инверсии I было тривиальной
процедурой. Инверсия коммутирует
Пространство и время
95
с вращениями, и в результате получается прямое произведение ?/l3X<yi = 6a
(гл. 7, § 4); неприводимые представления группы б3 задаются парой
индексов /, л, где л = ±-четность.
Добавление инверсии I к группе Лоренца не является столь же простой
операцией, поскольку инверсия не коммутирует с преобразованиями Лоренца.
Но, учитывая то, что произвольное преобразование L можно представить в
виде произведения вращения R (а) на буст Q (Ь) [формула (15.27)], мы
можем ограничиться рассмотрением произведений инверсии I с бустами. Для
буста Ог(Ь) из явного вида матрицы (15.24) и матрицы
имеем IQ* (b) = Qz (-Ь) I. ' Ясно, что это соотношение остается в силе,
если взять вместо г любое другое направление. Таким образом, IQ(b) = Q(-
b)l, или, другими словами, IQ (b) I - Q (-Ь), откуда следует, что
инверсия I изменяет направление буста на противоположное- результат,
который можно было предвидеть. Если перейти к инфинитезимальным
операторам, то это значит,
откуда следуют соотношения А21 = IB2, В21 = 1А2. (15.416)
Структуру и индексы неприводимых представлений группы 3?s можно теперь
без труда установить, исходя из соотношений (15.40) и (15.41),
справедливых, конечно, для всех представлений, а не только для матриц
4x4. Как и в § 2, мы будем обозначать одинаково (символами Аа и т. д.)
матрицы 4x4 и соответствующие операторы в представлении общего вида. Но в
соответствии с обозначениями гл. 4, § 1 оператор инверсии в представлении
общего вида мы будем обозначать через Т (I).
Обозначим базисные векторы пространства неприводимого представления Iй-
>"> группы через е^, где
(15.39)
IXq = Xgl, IY, = -Yel,
(15.40)
(15.41а)
m = j, (/-1), ..., -/; т' = j', (j'- 1), ..., -j'. Тогда
96
Глава 15
с учетом соотношений (15.41) получаем
А2 [Т (I) = Т (I) В2е^ = (/' + 1) [Т (I) е^,].
тогда как
В2 [Т (I) етт' - - У (/ + 1) [Т (0 ей;,].
Аналогично из формул (15.36) и (15.41а) получаем
Аг[Т(1)е(,{т.] = - im' [Т(1)ей;.], П5 491
вг[т (О ей;,]=-г/n [т (о ей;,]- 1 '
Из формул (15.42) следует, что набор (2/+1) (2/'+ 1) векторов Т(1)еЙ;,
образует базис пространства представления б группы 3, и мы введем
обозначение
"а, = Т(1)ей;,. (15.43)
