Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы обеспечить справедливость формулы (П4.14).
П.2. Исходя из соотношения ортогональности (П4.25), покажите, что
обобщенный проекционный оператор (оператор перехода) для группы 5?3 можно
записать в виде
Pm'in = (2/-f 1) J Dm>m(a, 0, у) Т (а, Р, у) sin р da УР Уу/8л2,
где Т (а, р, у) -оператор вращения.
П.З. Путем элементарных рассуждений покажите, что альтернативная форма
записи простого проекционного оператора Р такова:
р(/>= д {j2-у'о'-ы)} / П (/ (/+1)-/'(/'+!)}.
ГФ1' I УФ1
где через П обозначено бесконечное произведение по индексу /' = 0, Vs.
!"••• с условием /' ф /.
396
Приложение 5
П.4. Вычислите коэффициенты связи, требуемые для получения уравнения
(П5.2). (Воспользуйтесь методом задачи 7.8.)
П.5. В задаче (7.12) отношения между матричными элементами тензорного
оператора второго ранга по состояниям с / = 1 вычислялись на основании
теоремы Вигнера-Эккарта. Вычислите те же отношения методом эквивалентного
оператора (гл. 7, § 4, п. Ж). [Начните с эквивалентного оператора L22) =
L+L+ и постройте другие компоненты на основании формулы (7.52) с учетом
формул (7.28) и (7.30). Затем, пользуясь формулой (7.40), найдите
матричные элементы.]
П.6. Пользуясь формулой (П5.14), покажите, что матричные элементы
дипольного оператора Lo + gSo в схеме LS-связи даются выражением
iLSJ'M\L0+gS0 \LSm>=gMbj,j + (l^g)(~^)L+S+J+liX xcpw, MOM) {f [
1s}[LKi+l)(2L + l)(2/ + l)]
' (Напишите S0 = J0-U и воспользуйтесь ответом задачи 7.13 относительно
приведенного матричного элемента оператора углового момента.)
П.7. На основании формулы(П5.15) выведите формулу (По.2). Рассматривая Ph
(cos Э12) как скалярное произведение Y<*> (1) • Y<A'(2) в силу теоремы
сложения (П4.8), возьмите приведенные матричные элементы оператора Y<*>
из формулы (П4.5). При расчете понадобятся следующие коэффициенты:
С(211, 033)
- fiVM1121 j_ /112i п Z112\_ 1
\ з ) ' ll.TlO/^ 3' \1 1 1/ ~6 ' 1l 1 2[~30-
П.8. Покажите, что для того, чтобы потенциал Vс в формуле (П5.18) был
инвариантным относительно группы О, для коэффициентов должно выполняться
соотношение <4ia = А\ = (*[ц)1'гА1. [Рассмотрите вращение вокруг оси х
второго и четвертого порядков, учитывая, что = N (х ± iy)4, Y\=*N (2/33)1
!г (35г4 - - 30г2гя+3г4).]
n.9t В приложении 5, § 5 было выведено выражение (П5.21) для оператора,
эквивалентного оператору V (6 = 4, Л])- Предлагаем . упрощенный метод
получения того же результата. Искомый оператор должен быть полиномом
четвертого порядка по операторам L*, \.у, L*. Но, как[извеотно, L"4)=l_t,
а также, поскольку для Lo4' мы имеем <7=0, оператор Ц4' должен иметь вид
L$' = otaLaLl-|- Коэффициенты a. [J, у и б
можно найти, потребовав, чтобы оператор Lo4> имел нулевые матричные
элементы во всех состояниях с L < 2. Это необходимое условие для
тензорного оператора четвертого ранга %=з4. Выбор состояний L = 1, М = Э;
L = l, М = 1; М = 1/г. ^ = 3/2,
М = Va достаточен для того,'чтобы nony4iif6 все четыре коэр-
Методы расчета атомной структуры
397
фициента. Чтобы иайти правильные относительные величины операторов Ц4* и
Ц4), необходимо использовать группу симметрии О и выбрать С так, чтобы в
полном выражении -{- (5/15)1уГ* коэффициенты при L| и L* были оди-
наковы.
П.10, Вычислите относительные расщепления при данном У в третьем столбце
на рис. 9.8 с помощью эквивалентного оператора, аналогичного оператору
(П5.21) для кристаллического поля.
П.11. Методом, указанным в задаче П.10, нельзя вычислить относительное
расщепление, вызванное кристаллическим полем, в состояниях с разными
значениями J. Вычислите это относительное расщепление, пользуясь формулой
(П5.14) и таблицей коэффициентов из книги Ротенберга и др. (т. 1, гл. 7,
литература).
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ТОМУ 2
Глава 14
14.4. Зона Бриллюэна изображена на рис. П.З. Малыми группами являются:
группа С4v в точках Г и М, группа С2v в точке X и группа Cih в точках А,
2
и Z. При k-*Q представление А* совместимо с представлениями 1\, Г3 и Г5,
а представление А2 - с представлениями Г2, Г4 и Г6. При k -*¦ п/а
представление Aj совместимо с представлениями X1nXi,a представление Д2-с
представлениями Х2 и Xs. (Неприводимые представления малой группы Civ в
точке Г обозначены через Г/( где индекс t= 1, ..., 5 соответствует
порядковому номеру, с которым представ-
Решения задач, к тому 2
399
ление входит в таблицу характеров из приложения 1. То же относится и к
другим точкам.)
14.5. Собственные состояния имеют вид Ф(Л> = ^-}-ф2-j-
+'1>з+'1>4> Ф(В2,=Фх+Ф4-Фз-Фг. ф<а=^1-Ф(?)= =Т2-Тз- Последние два
состояния вырождены. Энергии всех состояний содержат
постоянную/г2я2/2Ма2-)-+ У00, они получаются путем прибавления к этой
постоянной следующих величин: Vn-\-2V01 для Аи Ун-2У01 для Вг и -У1Х для
?-дуплета, причем
VPt= V'1 S v (*> У) ехР {(Рх + ЧУ) in/a} dx dy,
% = ехр {(х + у) in/а}, = ехр {(х-у) in/а},
% = ехр{(-х+у) in/a}, ф4 = ехр{(-х-у) in/a}.
Глава 17
17.1. (124) (36) (5).
17.4. Размерность равна пяти: (22111), (21211), (21121), '(12211),
